旧博客原文
原题：包含边长为1的正三角形的椭圆的最小面积
这个问题其实很简单，我们只需要注意到在仿射变换下
但是我没想到这一点，实际上我是在圆附近计算保持正三角形，固定一个端点的面积变分的一阶微扰。
补充说明
以下是新整理的中文说明；上方旧博客原文保持不变。
问题是：所有包含边长为 $1$ 的正三角形的椭圆中，面积最小的是哪一个？直接算椭圆参数当然可以，但最干净的思路是利用仿射不变量。
1. 仿射归一化
任意椭圆都可以通过一个仿射变换送到单位圆盘。仿射变换会同时缩放三角形面积和椭圆面积，因此“面积比”保持不变。于是问题等价于：单位圆盘中能放入的三角形面积最大是多少。
2. 圆内最大三角形
在单位圆中，给定三个顶点在圆周上，三角形面积为
$$A=\frac12\left|\sum_{j=1}^3 \sin(\theta_{j+1}-\theta_j)\right|.$$
在角度间隔和为 $2\pi$ 的约束下，凹性或 Jensen 不等式说明最大值在三个间隔相等时取得，也就是正三角形。
3. 回到原问题
边长为 $1$ 的正三角形外接圆半径是
$$R=\frac1{\sqrt3}.$$
因此最小椭圆就是它的外接圆，面积为
$$\pi R^2=\frac{\pi}{3}.$$
4. 为什么微扰计算会绕远
若固定一个端点，对椭圆做一阶变分，也能发现正三角形附近是极值。但这条路会被坐标和约束缠住。仿射观点直接把问题转成圆中最大面积三角形，结构一下子清楚了。