分类： Dynamics

短区间中 Mobius 函数与 nil-sequence 的相关估计

旧博客原文

原题：The correlation of Mobius function and nil-sequences in short interval

I wish to establish the following estimate:

Conjecture :(correlation of Mobius function and nil-sequences in short interval)

$\lambda(n)$ is the liouville function we wish the following estimate is true.

$\int_{0\leq x\leq X}|\sup_{f\in \Omega^m}\sum_{x\leq n\leq x+H}\lambda(n)e^{2\pi if(x)}|dx =o(XH)$ .

Where we have $H\to \infty$ as $x\to \infty$ , $\Omega^m=\{a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+...+a_1x+a_0 | a_m,...,a_1,a_0\in [0,1]\}$ is a compact space.

I do not know how to prove this but this is result is valuable to consider, because by a Fourier identity we could transform the difficulty of (log average) Chowla conjecture to this type of result.

There is some clue to show this type of result could be true, the first one is the result established by Matomaki and Raziwill in 2015:

Theorem (multiplication function in short interval)

$f(n): \mathbb N\to \mathbb C$ is a multiplicative function, i.e. $f(mn)=f(n)f(m), \forall m,n\in \mathbb N$ . $H\to \infty$ as $x\to infty$ , then we have the following result,

$\int_{1\leq x\leq X}|\sum_{x\leq n\leq x+H}f(n)|=o(XH)$ .

And there also exists the result which could be established by Vinagrodov estimate and B-S-Z critation :

Theorem(correlation of multiplication function and nil-sequences in long interval)

$f(n): \mathbb N\to \mathbb C$ is a multiplicative function, i.e. $f(mn)=f(n)f(m), \forall m,n\in \mathbb N$ . $g(n)=a_n^m+...+a_1n+a_0$ is a polynomial function then we have the following result,

$\int_{1\leq n \leq X}|f(n)e^{2\pi i g(n)}|=o(X)$ .

补充说明

以下是新整理的中文说明；上方旧博客原文保持不变。

希望建立的估计可以粗略写成：对 Liouville 函数或 Mobius 函数 $\lambda(n)$，以及复杂度受控的 nil-sequence $F(g^n x)$，在短区间 $I=[X,X+H]$ 上有

$$\frac1H\sum_{n\in I}\lambda(n)F(g^n x)=o(1).$$

这里 $H=H(X)\to\infty$，但 $H$ 可以远小于 $X$。这类估计如果成立，会把短区间乘法函数理论和 Sarnak/Chowla 型问题连接起来。

短区间中的 Mobius-nilsequence 相关估计试图在局部窗口内捕捉乘法函数的随机性。

1. 为什么是 nil-sequence

nil-sequence 是低复杂度动力系统轨道的模型。多项式相位 $e(P(n))$ 是最基本例子，更高阶 nilmanifold 上的轨道则对应高阶 Fourier 分析中的结构部分。若 Mobius 与所有这类低复杂度序列正交，就说明它在动力系统意义下表现得像随机噪声。

2. 短区间困难

长区间中可以使用 Bourgain-Sarnak-Ziegler criterion、Vinogradov 型估计和 nilsequence equidistribution。短区间的问题更硬，因为平均长度不够，许多全局消去无法直接使用。

Matomaki-Radziwill 的定理说明，乘法函数在几乎所有短区间中仍有平均消去。这给出一个强烈信号：如果 nil-sequence 的结构在短窗口上足够规则，那么相关和也应当消失。

3. 与 Chowla 的关系

对数平均 Chowla 猜想可以通过 Fourier 展开和结构分解，转化为乘法函数与低复杂度序列的相关估计。这里的短区间版本相当于把“全局随机性”压缩到局部窗口中观察。

4. 可能路线

一个可行框架是：先用短区间乘法函数定理处理非结构部分，再对 nil-orbit 做定量 equidistribution 分解，最后用 BSZ 型准则控制剩余相关。核心瓶颈是所有常数都必须对短区间长度 $H$ 有足够好的依赖。

2017年12月18日
From periodic to quasi-periodic：周期轨道、无理旋转与逼近

旧博客原文

原题：From periodic to quasi periodic

旧站归档中的这篇正文原本为空。

补充说明

以下是新整理的中文说明；上方旧博客原文保持不变。

从 periodic 到 quasi-periodic，最简单的模型是圆周旋转

$$R_\alpha:x\mapsto x+\alpha\pmod 1.$$

当 $\alpha=p/q$ 为有理数时，每条轨道都是周期的；当 $\alpha$ 为无理数时，轨道不闭合，而是在圆周上稠密。这两种现象之间由有理逼近连接。

周期旋转与拟周期旋转之间由有理逼近连接，时间尺度决定了两者看起来有多接近。

1. 周期轨道

若 $\alpha=p/q$ 且 $(p,q)=1$，则

$$R_\alpha^q x=x.$$

因此动力系统分解成长度为 $q$ 的有限轨道。许多谱量、平均量和相关函数都可以化成有限和。

2. 拟周期轨道

若 $\alpha$ 无理，则 $n\alpha$ 模 $1$ 稠密。更强地，Weyl criterion 给出均匀分布：

$$\frac1N\sum_{n\le N}e^{2\pi i k n\alpha}\to0,\qquad k\ne0.$$

这说明拟周期不是“没有规律”，而是有一种全局平均意义下的均匀规律。

3. 有理逼近的两面性

连分数给出 $\alpha$ 的最佳有理逼近 $p_j/q_j$。在时间尺度 $q_j$ 以下，无理旋转很像周期 $q_j$ 的旋转；但超过这个尺度后，误差积累会显露真正的拟周期行为。

4. 推广到高维环面

在 $\mathbb T^d$ 上，平移 $x\mapsto x+\omega$ 的轨道性质由整数关系 $k\cdot\omega$ 控制。没有非平凡整数关系时，轨道稠密；若还满足 Diophantine 条件，则许多小除数估计也会变得可控。

2017年11月26日
Interval map：周期三、Markov 分割与拓扑熵

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原题：Interval map

1.period 3 induce chaos

theorem:if a interval map $T:I\to I$ have a period 3 point $x$ ,then $\forall n\in N^*$ ,there is a period n point for $T$ .

proof:

n=1 case. trivial

$n>1,n\neq 3$ case:

the key point is to consider the structure of monotone interval contain previous one with fix length.

this will easy to lead a proof.

2.a work of J.Milnor and W.Thurston.

$N(T^n)$ defined as the number of monotone interval of the map $T^n$ .

theorem: $h(T)=lim_{n\to infty}\frac{1}{n}log N(T^n)$ .

3.monotone Markov map

this structure have two property:

1.piesewise monotone and $C^1$,the derive has control!

there is a relative dynamic system with this map.is a shift map with a relative $n\times n$ matrix $A$ .

this two dynamic system have a lot of relation,the key one is:

the topological entropy of monotone Markov map is just the unique maximum eigenvalue of $A$ .

and some byproduct…

补充说明

以下是新整理的中文说明；上方旧博客原文保持不变。

区间映射是一维动力系统中最能体现“简单空间产生复杂轨道”的模型。一个连续映射 $f:I\to I$ 若有周期三点，就已经含有所有周期的影子，这就是 Li-Yorke 定理背后的核心图像。

区间映射的复杂性可以通过分段单调结构和 Markov transition matrix 转化为组合增长。

1. 周期三为什么特别

设存在 $x$ 使得 $x,f(x),f^2(x)$ 互不相同且 $f^3(x)=x$。三个点在区间上的顺序会迫使某些子区间被映到包含另一些子区间的位置。利用介值定理，可以构造嵌套区间，从而得到任意周期点。

2. 分段单调与 lap number

Milnor-Thurston 的一个基本量是 $f^n$ 的单调区间个数，常记作 $\ell(f^n)$。拓扑熵可以由增长率给出：

$$h_{\rm top}(f)=\lim_{n\to\infty}\frac1n\log \ell(f^n).$$

这把轨道复杂度转化成组合增长。

3. Markov 映射

若区间被分成有限个小区间，且每个小区间在 $f$ 下覆盖若干小区间，就得到一个 transition matrix $A$。对应的符号动力系统是一个 subshift of finite type。

4. 熵与最大特征值

在 Markov 情形下，长度为 $n$ 的允许轨道数由 $A^n$ 控制，因此

$$h_{\rm top}(f)=\log \rho(A),$$

其中 $\rho(A)$ 是矩阵最大特征值。这样一维动力系统的混沌程度就被线性代数读出来了。

2017年9月27日
Bourgain-Sarnak-Ziegler criterion：Mobius 正交性的有限检验

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原题：Bourgain-Sarnak-Ziegler Criterion

Bourgain-Sarnak-Ziegler定理可以视为Vingrodov均值定理的有限版本。

补充说明

以下是新整理的中文说明；上方旧博客原文保持不变。

Bourgain-Sarnak-Ziegler criterion 可以看成 Vinogradov 均值思想的有限版本：若一个有界序列在不同素数倍采样下彼此近似正交，那么它与 Mobius 函数也应当正交。

BSZ criterion 用不同素数倍采样的相关消失来推出 Mobius 正交性。

1. 判别法的形式

设 $a_n$ 是有界序列。若对不同素数 $p\ne q$，有

$$\sum_{n\le N}a_{pn}\overline{a_{qn}}=o(N)$$

并且这个估计对一批素数足够一致，那么可以推出

$$\sum_{n\le N}\mu(n)a_n=o(N).$$

2. 为什么素数倍相关重要

Mobius 函数的困难在于它携带素因子结构。BSZ criterion 的想法是：不直接分析 $\mu(n)$，而是检查序列 $a_n$ 对不同素数尺度是否产生相关。如果所有这些相关都小，Mobius 就没有可利用的结构与之耦合。

3. 与 Sarnak 猜想

在动力系统中，常取 $a_n=f(T^n x)$。于是 Mobius disjointness 变成

$$\frac1N\sum_{n\le N}\mu(n)f(T^n x)\to0.$$

BSZ 把这个问题转化为比较 $T^p$ 和 $T^q$ 产生的两个轨道序列。

4. 有限版本的意义

称它为 Vinogradov 均值定理的有限版本，是因为它同样通过“多重相关消失”来控制原始振荡和。它特别适合低复杂度系统，例如 nilsequence、skew product 或 substitution dynamics。

2017年9月25日