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分类： Hyperbolic surface

  • Fractal Uncertainty Principle：极限集、Schottky group 与 zeta 零点

    旧博客原文

    原题：Fractional uncertain principle

    semyon dyatlov的一篇文章

    semyon dyatlov的文章https://arxiv.org/pdf/1710.05430.pdf，用fractional uncertainly priciple导出了hyperbolic surface上测地线诱导的zeta函数在Re(s)>1-\epsilon只有有限个零点。

     

    就我的理解，这件事情至少和3个事情有关系，

    1.p-adic上的黎曼猜想，因为这篇文章的证明强烈依赖于markov性质，这和p adic的结构也很像，有可能可以利用p adic猜想的证明思路继续做一部分。

     

    2.billiard的传播子，但是这里不一样，文章中的 Schottky groups本质上是对于算子的逆写成一种级数形式其中级数由Schottky group生成，但是对于billiard传播子的情况所有的涉及的热核或者波核的paramatrix不仅仅具备markov性质，起主导作用的却是某种需要X-ray估计的性质，级数和并不是对全空间求而是某种截断了的子空间里面，所以比这个证明要难。建立起billiard的传播子估计是证明inverse spectral problem的重要一步。

     

    3.interval exchange map，但是interval exchange map的结构就好只有这里的traslation，这里有一个像的大小的指数衰减，这是interval exchange map所没有的。interval exchage map可能还需要涉及到一个拆分估计，会更难，这可能可以在interval exchange map上的sarnak猜想有进展。

     

    下面讲一下我对文章证明主要思路的理解：首先对于hyperbolic空间H^2/{\Gamma} 我们用poincare的方式来理解为 D mod掉一个作用，那么极限集\Lambda_{\Gamma} 就是基本域在分式线性变换下在D的边界下的极限点。

    关键是建立如下估计 \int_{\Lambda_{\Gamma}}exp (i\xi\phi(x)) g(x) d\mu(x)\leq C|\xi|^{−\epsilon_1} \forall \xi, |\xi| > 1.

    为了建立这个估计，我们做的事情是：

    1.研究极限集\Lambda_{\Gamma} 的结构，本质上具备某种组合上的树结构，在分式线性变换下树的上方和下方交换，而且对于象有指数级别的衰减，这很像连分数展开中的otrowoski表示。对于分式线性变换和Schottky group作用的体积形变估计是容易得到的。

    2.Patterson–Sullivan测度\mu 是在\Gamma 作用下的遍历测度，特别的，和 \Gamma 是compatible的，所以变量代换公式成立：

     \int_{\Lambda_{\Gamma}} f(x)d\mu(x) =\int_{\Lambda_{\Gamma}}f(\gamma(x))|\gamma'(x)|_{\delta}^B d\mu(x) \forall \gamma \in \Gamma

    这个很重要，一旦我们能够找到I :=\amalg_{b\in \Omega} I_b, 实际这可以导出一个关于f的方程：

     L_Zf(x) = \sum_{a\in Z,a\to b} f(\gamma_{a′}(x))w_{a′}(x), x ∈ I_b.

    我们关心的selberg zeta函数的零点就等于方程特征值1对应的特征函数： L_zf(x)=f(x) .

    （这一点很重要而且在很多问题中都有用，至少有几个例子：1.有的时候一个椭圆方程的特征值很难做，转而去考察他的发展方程。2.很多数论问题，特别是质数在某些partition集合里面的分布，对于对应的L函数的动力系统的刻画就需要这个方程）

    3. 文章中3.1.是bourgain的主要贡献，是所谓的sum-product现象在这里的一个引用，为了得到foriour衰减性估计，我们需要不断拆散区间，实际上在树的每一层上面我们都很清楚怎么把这一层的积分拆散到上一层和下一层，这实际上可以看成一个renormelization方程：

      \int_{\Lambda_{\Gamma}}f d\mu =\int_{\Lambda_{\Gamma}}L_{Z(\tau)}^{2k+1} f d\mu = \sum_{A,B,A\leftrightarrow B}f(\gamma_{A∗B}(x))w_{A∗B}(x)d\mu(x).

    1中的形变估计(只需要估计一下交叉项带来的误差)告诉我们：  | \int_{}fdμ|^2 ≤C\tau^{(2k−1)\delta}\sum_{A,B,A\leftrightarrow B} |\int_{I_b(A)} e^{iξ\phi(\gamma_{A∗B}(x))}w_{a′_k} (x)d\mu(x)| ^2 +C\tau^2 .

    然后在x点taylor展开用围道积分得到误差项，误差项用1中的形变估计得到上界控制，主项放到一起得到：

      |\int_{\Lambda_{\Gamma}} f d\mu|^2 ≤ C\tau^{(2k+1)\delta}\sum_A sup_{\eta\in J_{\tau}}| e^{2πi\eta\xi_{1,A} (b_1)···\xi_{k,A} (b_k )}| + C\tau^{\delta/4}. （*）

    最后为了用bourgain的sum-product现象得到的引理3.3来控制（*）RHS，我们需要对 R ⊂ Z(τ) ^{k+1} 和 Z(τ)^{k+1}-R 分段估计,前者是用正则性导致的收敛速度快，后者shi用minkowki维数很小，前者估计已经建立，所以只需对Z(τ)^{k+1}-R 建立minkoski维数上界估计，这是显然的。

    这样我们就建立好了如下估计：

      \int_{\Lambda_{\Gamma}}exp ( i\xi\phi(x)) g(x) d\mu(x) ≤ C|\xi|^{−\epsilon_1} \forall \xi, |\xi| > 1.

    这个估计是用来建立fractional uncertain principle的关键，一旦我们有了fractional uncertain principle，hyperbolic surface上测地线诱导的zeta函数在Re（s）>\frac{1}{2}-epsilon只有有限个零点就只是一个fix point theorem的argument。

    另外一个不需要用sum-product现象的极为简单的证明见[1710.05430] Fractal uncertainty for transfer operators。

    补充说明

    以下是新整理的中文说明；上方旧博客原文保持不变。

    Fractal uncertainty principle 说，一个函数不可能同时集中在一个 fractal set 和它的 Fourier dual fractal set 上。Dyatlov 等人的工作把这个原则用于 hyperbolic surface 上的共振和 Selberg zeta 函数零点问题。

    Fractal Uncertainty Principle：极限集、Schottky group 与 zeta 零点
    Fractal uncertainty principle 排除函数同时集中在极限集和对偶 fractal set 上。

    1. 从普通不确定性到 fractal 版本

    普通不确定性原理强调物理空间和频率空间不能同时局部化。fractal uncertainty principle 的形式更细：若 $X,Y$ 是具有 porous 或 Ahlfors-David regular 结构的 fractal sets，则不存在非零函数同时几乎支撑在 $X$ 和频率支撑在 $Y$ 上。

    粗略地说，有估计

    $$\|\mathbf 1_X \mathcal F_h \mathbf 1_Y\|_{L^2\to L^2}\le C h^\beta,$$

    其中 $\beta>0$ 反映 fractal 几何带来的额外衰减。

    2. Schottky group 与极限集

    对某些 hyperbolic surface，可以用 Schottky group 来描述。其极限集 $\Lambda$ 位于边界上，具有类似 Cantor set 的树状结构。群作用下的小区间长度指数衰减，而每一层的 cylinder 又保留清晰的组合编码。

    这和连分数、Ostrowski 表示、Markov partition 有相似味道：复杂轨道被编码成树上的路径，尺度之间通过 renormalization 关系联系。

    3. Patterson-Sullivan 测度

    Patterson-Sullivan 测度是极限集上的自然遍历测度。它与群作用兼容，因此变量替换公式可以把 transfer operator 写成适合迭代的形式。很多 zeta 函数或共振问题最终会转化为某个 transfer operator 是否有特征值 $1$。

    这一步很重要：谱问题从几何 Laplacian 转成边界动力系统上的算子问题。

    4. Sum-product 现象的作用

    fractal uncertainty 的关键估计往往来自 sum-product 型思想。若一个集合同时在加法和乘法结构上都太集中，就会违反 expansion。极限集的多尺度树结构让我们可以把振荡积分拆到不同层级，再用 expansion 迫使 Fourier 衰减。

    这与 Bourgain 方法的精神一致：不是直接逐点估计振荡积分，而是利用组合结构证明在多数尺度上不能同时对齐。

    5. 可能的延伸方向

    这个框架让人自然想到 billiards、interval exchange maps 和 $p$-adic 动力系统。相同点是都有编码和尺度结构；不同点是 Markov 性质、传播子 parametrix 和截断方式并不一样。真正困难的地方在于：如何找到一个既保留动力系统结构又能产生 Fourier 衰减的分解。