github-backend

分类： Complex dynamics

  • Julia set 的 Hausdorff 维数能否等于 2？

    旧博客原文

    原题：Julia set

    There is a major open problem:

    Is there a polynomial f(z) such that the julia set T(J) of  mapT:z\longrightarrow f(z) satisfied the hausdorff dimension of J equal to 2?

    补充说明

    以下是新整理的中文说明；上方旧博客原文保持不变。

    复动力系统中的 Julia set 是迭代多项式

    $$f^{\circ n}(z)$$

    稳定性发生断裂的边界。一个自然问题是：是否存在多项式 $f$，使得 Julia set 的 Hausdorff 维数等于 $2$？也就是说，它虽然可能没有面积，却在维数意义上填满平面。

    Julia set 的 Hausdorff 维数能否等于 2？
    Julia set 的满 Hausdorff 维数问题连接复动力系统、分形几何和非一致双曲性。

    1. Fatou set 与 Julia set

    Fatou set 是迭代族正常的区域，Julia set 是它的补集。对 $f(z)=z^2+c$ 这样的二次多项式，Julia set 的形状会随参数 $c$ 发生剧烈变化。

    2. 维数为什么可能接近 2

    双曲多项式的 Julia set 往往有清晰的膨胀结构，维数可以通过压力函数计算。若系统接近抛物或临界退化，膨胀变弱，轨道在小尺度上停留更久，维数可能被推高。

    3. 等于 2 的含义

    $\dim_H J(f)=2$ 不等于说 $J(f)$ 有正面积。Hausdorff 维数为 $2$ 只说明它在任意小尺度上足够复杂；Lebesgue 面积是否为正是更强的问题。

    4. 研究路线

    一种思路是构造参数序列，使 Julia set 的维数趋近 $2$，再分析极限是否保持多项式动力系统的性质。另一种思路是研究临界轨道的回归速度和尺度几何，寻找能够制造满维数的非一致双曲机制。