Julia set 的 Hausdorff 维数能否等于 2？

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旧博客原文

原题：Julia set

There is a major open problem:

Is there a polynomial $f(z)$ such that the julia set $T(J)$ of map $T:z\longrightarrow f(z)$ satisfied the hausdorff dimension of J equal to 2?

以下是新整理的中文说明；上方旧博客原文保持不变。

复动力系统中的 Julia set 是迭代多项式

$$f^{\circ n}(z)$$

稳定性发生断裂的边界。一个自然问题是：是否存在多项式 $f$，使得 Julia set 的 Hausdorff 维数等于 $2$？也就是说，它虽然可能没有面积，却在维数意义上填满平面。

Fatou set 是迭代族正常的区域，Julia set 是它的补集。对 $f(z)=z^2+c$ 这样的二次多项式，Julia set 的形状会随参数 $c$ 发生剧烈变化。

双曲多项式的 Julia set 往往有清晰的膨胀结构，维数可以通过压力函数计算。若系统接近抛物或临界退化，膨胀变弱，轨道在小尺度上停留更久，维数可能被推高。

$\dim_H J(f)=2$ 不等于说 $J(f)$ 有正面积。Hausdorff 维数为 $2$ 只说明它在任意小尺度上足够复杂；Lebesgue 面积是否为正是更强的问题。

一种思路是构造参数序列，使 Julia set 的维数趋近 $2$，再分析极限是否保持多项式动力系统的性质。另一种思路是研究临界轨道的回归速度和尺度几何，寻找能够制造满维数的非一致双曲机制。