旧博客原文
原题：Regularity of k-curvature equation
this is a note after reading the article”” of Cafferalli.
in his article,a large type of fully nonlinear elliptic equation has been established.in particular,including the k-curvature equation.and use the continue method,we just need to establish a ingredient estimate,
补充说明
以下是新整理的中文说明；上方旧博客原文保持不变。
$k$-curvature 方程属于完全非线性椭圆方程。典型形式可以写成
$$F(D^2u,Du,u,x)=\sigma_k(\kappa[u])=\psi(x),$$
其中 $\sigma_k$ 是主曲率的第 $k$ 个初等对称函数。Caffarelli-Nirenberg-Spruck 一类理论的核心是：在合适凸性锥中建立先验估计，然后用连续性方法得到解。
1. 连续性方法
把目标方程嵌入一族方程 $F_t(u)=0$。若 $t=0$ 可解，开性来自线性化算子的可逆性，闭性则依赖统一先验估计。于是关键变成：
$$\|u\|_{C^{2,\alpha}}\le C.$$
2. 内部估计
$C^0$ 和 $C^1$ 估计通常来自最大值原理与几何屏障。二阶估计更微妙，需要对最大特征值构造辅助函数，并利用方程的凹性抵消坏项。
3. 边界估计
边界附近最难的是混合二阶导数和法向二阶导数。这里要仔细利用边界曲率、可容许锥条件，以及对称函数 $\sigma_k$ 在坐标置换下的结构。
4. 正则性升级
一旦得到一致椭圆性和 $C^2$ 控制，可以通过 Evans-Krylov 定理得到 $C^{2,\alpha}$，再用 Schauder theory 提升到更高正则性。整个证明的脊梁是：屏障函数给低阶控制，最大值原理给二阶控制，椭圆正则性完成升级。