k-curvature 方程的正则性：连续性方法、屏障函数与边界估计

旧博客原文

原题：Regularity of k-curvature equation

this is a note after reading the article”” of Cafferalli.

in his article,a large type of fully nonlinear elliptic equation has been established.in particular,including the k-curvature equation.and use the continue method,we just need to establish a ingredient estimate, estimate in the interior and estimate near the boundary.we establish these estimate step by step,base on construct special flexible function and use the maximum principle to establish the first and second estimate,for the estimate near the boundary we need to investigate the influence of permutation on the boundary carefully.

补充说明

以下是新整理的中文说明；上方旧博客原文保持不变。

$k$-curvature 方程属于完全非线性椭圆方程。典型形式可以写成

$$F(D^2u,Du,u,x)=\sigma_k(\kappa[u])=\psi(x),$$

其中 $\sigma_k$ 是主曲率的第 $k$ 个初等对称函数。Caffarelli-Nirenberg-Spruck 一类理论的核心是：在合适凸性锥中建立先验估计，然后用连续性方法得到解。

1. 连续性方法

把目标方程嵌入一族方程 $F_t(u)=0$。若 $t=0$ 可解，开性来自线性化算子的可逆性，闭性则依赖统一先验估计。于是关键变成：

$$\|u\|_{C^{2,\alpha}}\le C.$$

2. 内部估计

$C^0$ 和 $C^1$ 估计通常来自最大值原理与几何屏障。二阶估计更微妙，需要对最大特征值构造辅助函数，并利用方程的凹性抵消坏项。

3. 边界估计

边界附近最难的是混合二阶导数和法向二阶导数。这里要仔细利用边界曲率、可容许锥条件，以及对称函数 $\sigma_k$ 在坐标置换下的结构。

4. 正则性升级

一旦得到一致椭圆性和 $C^2$ 控制，可以通过 Evans-Krylov 定理得到 $C^{2,\alpha}$，再用 Schauder theory 提升到更高正则性。整个证明的脊梁是：屏障函数给低阶控制，最大值原理给二阶控制，椭圆正则性完成升级。