分类： Harmonic analysis

Fractal Uncertainty Principle：极限集、Schottky group 与 zeta 零点

旧博客原文

原题：Fractional uncertain principle

semyon dyatlov的一篇文章

semyon dyatlov的文章https://arxiv.org/pdf/1710.05430.pdf，用fractional uncertainly priciple导出了hyperbolic surface上测地线诱导的zeta函数在 $Re(s)>1-\epsilon$ 只有有限个零点。

就我的理解，这件事情至少和3个事情有关系，

1.p-adic上的黎曼猜想，因为这篇文章的证明强烈依赖于markov性质，这和p adic的结构也很像，有可能可以利用p adic猜想的证明思路继续做一部分。

2.billiard的传播子，但是这里不一样，文章中的 Schottky groups本质上是对于算子的逆写成一种级数形式其中级数由Schottky group生成，但是对于billiard传播子的情况所有的涉及的热核或者波核的paramatrix不仅仅具备markov性质，起主导作用的却是某种需要X-ray估计的性质，级数和并不是对全空间求而是某种截断了的子空间里面，所以比这个证明要难。建立起billiard的传播子估计是证明inverse spectral problem的重要一步。

3.interval exchange map，但是interval exchange map的结构就好只有这里的traslation，这里有一个像的大小的指数衰减，这是interval exchange map所没有的。interval exchage map可能还需要涉及到一个拆分估计，会更难，这可能可以在interval exchange map上的sarnak猜想有进展。

下面讲一下我对文章证明主要思路的理解：首先对于hyperbolic空间 $H^2/{\Gamma}$ 我们用poincare的方式来理解为 D mod掉一个作用，那么极限集 $\Lambda_{\Gamma}$ 就是基本域在分式线性变换下在D的边界下的极限点。

关键是建立如下估计 $\int_{\Lambda_{\Gamma}}exp (i\xi\phi(x)) g(x) d\mu(x)\leq C|\xi|^{−\epsilon_1} \forall \xi, |\xi| > 1$ .

为了建立这个估计，我们做的事情是：

1.研究极限集 $\Lambda_{\Gamma}$ 的结构，本质上具备某种组合上的树结构，在分式线性变换下树的上方和下方交换，而且对于象有指数级别的衰减，这很像连分数展开中的otrowoski表示。对于分式线性变换和Schottky group作用的体积形变估计是容易得到的。

2.Patterson–Sullivan测度 $\mu$ 是在 $\Gamma$ 作用下的遍历测度，特别的，和 $\Gamma$ 是compatible的，所以变量代换公式成立：

$\int_{\Lambda_{\Gamma}} f(x)d\mu(x) =\int_{\Lambda_{\Gamma}}f(\gamma(x))|\gamma'(x)|_{\delta}^B d\mu(x) \forall \gamma \in \Gamma$

这个很重要，一旦我们能够找到 $I :=\amalg_{b\in \Omega} I_b$ , 实际这可以导出一个关于f的方程：

$L_Zf(x) = \sum_{a\in Z,a\to b} f(\gamma_{a′}(x))w_{a′}(x), x ∈ I_b.$

我们关心的selberg zeta函数的零点就等于方程特征值1对应的特征函数： $L_zf(x)=f(x)$ .

（这一点很重要而且在很多问题中都有用，至少有几个例子：1.有的时候一个椭圆方程的特征值很难做，转而去考察他的发展方程。2.很多数论问题，特别是质数在某些partition集合里面的分布，对于对应的L函数的动力系统的刻画就需要这个方程）

3. 文章中3.1.是bourgain的主要贡献，是所谓的sum-product现象在这里的一个引用，为了得到foriour衰减性估计，我们需要不断拆散区间，实际上在树的每一层上面我们都很清楚怎么把这一层的积分拆散到上一层和下一层，这实际上可以看成一个renormelization方程：

$\int_{\Lambda_{\Gamma}}f d\mu =\int_{\Lambda_{\Gamma}}L_{Z(\tau)}^{2k+1} f d\mu = \sum_{A,B,A\leftrightarrow B}f(\gamma_{A∗B}(x))w_{A∗B}(x)d\mu(x)$ .

1中的形变估计(只需要估计一下交叉项带来的误差)告诉我们： $| \int_{}fdμ|^2 ≤C\tau^{(2k−1)\delta}\sum_{A,B,A\leftrightarrow B} |\int_{I_b(A)} e^{iξ\phi(\gamma_{A∗B}(x))}w_{a′_k} (x)d\mu(x)| ^2 +C\tau^2$ .

然后在x点taylor展开用围道积分得到误差项，误差项用1中的形变估计得到上界控制，主项放到一起得到：

$|\int_{\Lambda_{\Gamma}} f d\mu|^2 ≤ C\tau^{(2k+1)\delta}\sum_A sup_{\eta\in J_{\tau}}| e^{2πi\eta\xi_{1,A} (b_1)···\xi_{k,A} (b_k )}| + C\tau^{\delta/4}$ . （*）

最后为了用bourgain的sum-product现象得到的引理3.3来控制（*）RHS，我们需要对 $R ⊂ Z(τ) ^{k+1}$ 和 $Z(τ)^{k+1}-R$ 分段估计,前者是用正则性导致的收敛速度快，后者shi用minkowki维数很小，前者估计已经建立，所以只需对Z(τ)^{k+1}-R 建立minkoski维数上界估计，这是显然的。

这样我们就建立好了如下估计：

$\int_{\Lambda_{\Gamma}}exp ( i\xi\phi(x)) g(x) d\mu(x) ≤ C|\xi|^{−\epsilon_1} \forall \xi, |\xi| > 1$ .

这个估计是用来建立fractional uncertain principle的关键，一旦我们有了fractional uncertain principle，hyperbolic surface上测地线诱导的zeta函数在 $Re（s）>\frac{1}{2}-epsilon$ 只有有限个零点就只是一个fix point theorem的argument。

另外一个不需要用sum-product现象的极为简单的证明见[1710.05430] Fractal uncertainty for transfer operators。

补充说明

以下是新整理的中文说明；上方旧博客原文保持不变。

Fractal uncertainty principle 说，一个函数不可能同时集中在一个 fractal set 和它的 Fourier dual fractal set 上。Dyatlov 等人的工作把这个原则用于 hyperbolic surface 上的共振和 Selberg zeta 函数零点问题。

Fractal uncertainty principle 排除函数同时集中在极限集和对偶 fractal set 上。

1. 从普通不确定性到 fractal 版本

普通不确定性原理强调物理空间和频率空间不能同时局部化。fractal uncertainty principle 的形式更细：若 $X,Y$ 是具有 porous 或 Ahlfors-David regular 结构的 fractal sets，则不存在非零函数同时几乎支撑在 $X$ 和频率支撑在 $Y$ 上。

粗略地说，有估计

$$\|\mathbf 1_X \mathcal F_h \mathbf 1_Y\|_{L^2\to L^2}\le C h^\beta,$$

其中 $\beta>0$ 反映 fractal 几何带来的额外衰减。

2. Schottky group 与极限集

对某些 hyperbolic surface，可以用 Schottky group 来描述。其极限集 $\Lambda$ 位于边界上，具有类似 Cantor set 的树状结构。群作用下的小区间长度指数衰减，而每一层的 cylinder 又保留清晰的组合编码。

这和连分数、Ostrowski 表示、Markov partition 有相似味道：复杂轨道被编码成树上的路径，尺度之间通过 renormalization 关系联系。

3. Patterson-Sullivan 测度

Patterson-Sullivan 测度是极限集上的自然遍历测度。它与群作用兼容，因此变量替换公式可以把 transfer operator 写成适合迭代的形式。很多 zeta 函数或共振问题最终会转化为某个 transfer operator 是否有特征值 $1$。

这一步很重要：谱问题从几何 Laplacian 转成边界动力系统上的算子问题。

4. Sum-product 现象的作用

fractal uncertainty 的关键估计往往来自 sum-product 型思想。若一个集合同时在加法和乘法结构上都太集中，就会违反 expansion。极限集的多尺度树结构让我们可以把振荡积分拆到不同层级，再用 expansion 迫使 Fourier 衰减。

这与 Bourgain 方法的精神一致：不是直接逐点估计振荡积分，而是利用组合结构证明在多数尺度上不能同时对齐。

5. 可能的延伸方向

这个框架让人自然想到 billiards、interval exchange maps 和 $p$-adic 动力系统。相同点是都有编码和尺度结构；不同点是 Markov 性质、传播子 parametrix 和截断方式并不一样。真正困难的地方在于：如何找到一个既保留动力系统结构又能产生 Fourier 衰减的分解。

2017年10月18日
Fourier restriction problem 的自然性：从 Hausdorff-Young 到曲率

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原题：Natural of the restriction problem

1.

the most natural problem in harmonic analysis may be:

investigate for what pair $(p,q)$ we have :

$L^p(R^n)\longrightarrow L^q(R^n)$

$\hat f(x)=\int_{R^n}e^{-2\pi ix\xi}f(\xi)d\xi$

is strong- $(p,q)$ bounded.

obvious we have the paserval identity: $||\hat f||_{2}=||f||_2$ ,and we have $||\hat f||_{\infty}\leq||f||_{1}$ .

so by the Riesz-Thorin inteplotation theorem we have the Hausdorff-Young inequality:

$\forall 1\leq p\leq 2,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ we have:

$||\hat f||_{q}\leq ||f||_{p}$ .

now let talk about the rescaling trick:

consider the transform: $f(x)\longrightarrow f(\frac{x}{\lambda})=f_{\lambda}(x)$ .we know if the inequality is right then it is necessary to have the same growth for the RHS and LHS.

this argument will derive: $\frac{n}{p}=n-\frac{n}{q}$ .

in fact $||f_{\lambda}(x)||_{p}=\lambda^{\frac{n}{p}}||f(x)||_{p}$ .

by the variable substitute formula: $\hat f_{\lambda}(x)=\int_{R^n}e^{-2\pi ix\xi}f(\frac{\xi}{\lambda})d\xi=\lambda^n\hat f(\lambda x)$ .

so $||\hat f_{\lambda}(x)||_{q}=\lambda^{n-\frac{n}{q}}||\hat f(x)||_{q}$

and by the scaling invariance trick we know the pair $(p,q)$ should live on the line $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ,and by test with the guessian function $g(x)=e^{-x^2}$ we know the right pair should be $1\leq p\leq 2$ .this end the problem with $R^n$ .

2.

now replace $R^n$ by a bounded open set $K$ .when the fourior transform restriction on $K$ is bounded $p-q$ operator?

i.e. $L^p(R^n)\longrightarrow L^q(R^n)$

$f\longrightarrow \hat f|_{K}$ .

$\hat f|_{K}=\int \chi_{K}e^{2\pi i<x,\xi>}f(\xi)d\xi$ .

on a bounded set $K$ ,we always have:if $q\geq r$ , $||f||_{L^p(K)}\geq ||f||_{L^r(K)}$ .

and associate with hausdorff-young inequality we have:

$||\hat f|_K||_{r}\leq ||\hat f||_q\leq ||f||_p$ .

and this area is the exact area(rescaling trick and test with gaussian function),so end of the story.(but why?)

3.

Now we begin to deal with the really interesting case: $K$ is not a open set but a sub manifold like the unit sphere $S^{n-1}$ .

$||\hat f||_{L^q(S^{n-1})}\leq ||f||_{L^p(R^{n})}$ .

$S^{n-1}$ equip with the usual surface measure $\sigma$ .

but the inequality is not always meaningful.

case: $p=2,\hat f\in L^2$ ,in general can not restrict to a measure zero set due to the loss of regularity.

case: $p=1$ , $\hat f$ continuous,meaningful to restrict to $S^{n-1}$ .

$||\hat f||_{L^{\infty}(S^{n-1})}\leq ||f||_{L^1(R^n)},\forall 1\leq p\leq \infty$ .

Duality:we use the duality argument to transform the “restriction theorem” to “extension theorem”.

$T:f\longrightarrow \hat f$ .

$T:f\longrightarrow \hat f$ .

$||f||=\sup_{||f||_p=1}||\hat f||_q=\sup_{||f||_p=1}\sup_{||g||_{q'}=1}|\int_{R^n}\hat fgd\sigma|=\sup_{||g||_{q'}=1}\sup_{||f||_p=1}|\int_{R^n}\hat fgd\sigma|=\sup_{||g||_{q'}=1}||\hat{gd\sigma}||_{p'}$ .

4.

we use $R_s(p\to q)$ to state the estimate $||\hat f||_{L^q(S)}\leq ||f||_{L^p(R^n)}$ . $S=S^{n-1}$ .

and by rescaling argument we have natural condition: $p<\frac{2n}{n-1}$ , $p'\geq \frac{n+1}{(n-1)q}$ .the restriction conjecture just say this necessary condition is also enough.

Now we state the Tomas-Stein restriction theorem:

$1\leq p\leq \frac{2n+1}{n+3}$ . $R_s(p\to 2)$ holds.

this is the endpoint estimate in dimension 2 case,so by Meceztaze interpolation theorem this lead to the whole restriction theorem in dimension 2.

the first argument is come from the so called $TT^*$ trick that is find by fefferman and stein in 1970.

$T$ bdd $p\to 2$ $\Longleftrightarrow$ $TT^*$ bdd $p'\to p$ .

in fact:

$||T||=\sup_{||f||_p=1}||Tf||_2=\sup_{||f||_p=1}\sup_{||g||_2=1}|\int (Tf)g|=\sup_{||f||_p=1}\sup_{||g||_2=1}|\int f(Tg)|=\sup_{||g||_2=1}||Tg||_{p'}=||T^*||$ .

$\int|e^{2\pi ix\xi}f(\xi)|^2 dw(\xi)\leq C||f||_p^2$

$<\hat f,\hat fw(\xi)>\leq c||f||_p^2$

$<\hat f,\hat{f*\hat{w(\xi)}}> \leq ||f||_p^2$

$<f,f*\hat{w(\xi)}>\leq ||f||_p^2$

$<f,f*\hat{w(\xi)}>\leq ||f||_p||f*\hat{w(\xi)}||_{p'}$

this can be derived from HLS inequality:

$||f*\hat{w(\xi)}||_{p'}\leq ||f||_p$ .

补充说明

以下是新整理的中文说明；上方旧博客原文保持不变。

restriction problem 问的是：Fourier transform 能不能有意义地限制到一个测度为零的曲面上？这件事在 $L^1$ 情形是平凡的，在一般 $L^p$ 情形却依赖曲面的曲率和振荡抵消。

restriction problem 的关键是把 Fourier transform 有意义地限制到带曲率的零测曲面上。

1. 从 Hausdorff-Young 开始

Fourier transform 满足 Plancherel

$$\|\widehat f\|_2=\|f\|_2$$

和显然估计

$$\|\widehat f\|_\infty\le \|f\|_1.$$

插值得到 Hausdorff-Young inequality：

$$\|\widehat f\|_{p’}\le C\|f\|_p,\qquad 1\le p\le2.$$

2. 为什么限制到曲面不平凡

若 $S$ 是单位球面，想要估计

$$\|\widehat f|_S\|_{L^q(S)}\le C\|f\|_{L^p(\mathbb R^n)}.$$

因为 $S$ 是测度为零的集合，普通 $L^{p’}$ 控制不能直接给出 restriction。曲率让 Fourier transform 在曲面附近具有额外振荡结构。

3. Scaling test

任何 restriction estimate 必须通过 scaling 检验。用集中在小球或细 tube 上的 test functions，可以得到 $p,q$ 的必要关系。这些反例说明，restriction 问题不是纯函数分析问题，而是几何问题。

4. Extension operator

对偶形式是 extension estimate：

$$Eg(x)=\int_S e^{ix\cdot\xi}g(\xi)\,d\sigma(\xi).$$

它研究曲面上的振荡波如何在物理空间中叠加。曲率越强，波包方向越分散，越可能得到好的估计。

5. 与 Kakeya 的联系

restriction、Kakeya、Bochner-Riesz 和 wave packet decomposition 深度相连。曲面上的频率 cap 对应物理空间中的 tube；估计 extension operator 等价于控制这些 tubes 的重叠。

2017年10月18日
Kakeya 猜想的多尺度分析：旧 tubes、新 tubes 与密度递降

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原题：Kakeya Conjecture

Last year I read a nice blog articles Recent progress on the Kakeya conjecture and have several questions with this article.

follows the proof strategy called Multiscale analysis,although we can use the estimate with large $\delta_1$ to get estimate with small $\delta_2$ ,(may be loss some $\delta^c$ in the inequality in this way),but the main difficult is we should proof the new tubes with scales $\delta_2$ is contains in the the olders.as soon as we proof this ,to obtain a lower bound of minkwoski dimension with kakeya set, suffice to get following estimate :
the new cubes with scale $\delta_2$ contains a positive constants volumes of every old cubes with scale $\delta_1$ .
this type of estimate is easy to attain because it is very similar to the “principle of close packing of spheres”.

in general ,we should not expect this claims:
the new tubes with scales $\delta_2$ is contains in the the older.

but if we can proof in some sense most of new tubes comes from this way maybe we can make progress on the original problem.

roughly speaking,we should partition the whole set of $T_{\delta}$ into two part,comes from old ones or not,for the first kind i.e contains in a old one,use the way explained above to treat.the second kind we need to proof the influence is very some or we can sometimes use the cubes from the first kind to instead the cubes from second kind and the measure of $|A|_{\delta}$ change little.

补充说明

以下是新整理的中文说明；上方旧博客原文保持不变。

Kakeya 猜想的多尺度分析试图把一个尺度上的 tube 结构传递到更小尺度。真正困难在于：新尺度上的 tubes 不一定整齐地包含在旧 tubes 中，必须区分继承结构和新出现结构。

Kakeya 多尺度分析的关键是判断小尺度 tubes 中哪些继承自旧尺度，哪些带来新结构。

1. 多尺度想法

设 $E_\delta$ 是 Kakeya set 的 $\delta$-neighborhood。若从尺度 $\delta$ 过渡到更小尺度 $\rho\delta$，希望旧尺度的每个有效 tube 都包含足够多的新尺度结构。

2. 一个理想但错误的图像

最天真的想法是：所有新 tubes 都来自旧 tubes 的细分。若如此，体积下界可以通过 close packing 直接传递。但实际情况中，新 tubes 可能跨越旧结构，产生新的重叠模式。

3. 密度递降

一种策略是把集合分成两类：继承旧结构的部分，以及真正新的部分。前者用尺度归纳处理；后者若太大，则会产生密度递降或结构性矛盾。

4. 与 Katz-Tao 的关系

Katz-Tao 方法中的 multiscale 思想正是利用尺度之间的结构约束。若某个尺度上 tubes 过度集中，会诱导出 additive/multiplicative 结构；sum-product 现象阻止这种结构无限持续。

5. 关键问题

多尺度方法的核心不是简单地把 tubes 变细，而是证明大部分新结构可以被旧结构解释；无法解释的部分必须带来额外 expansion。这个二分是 Kakeya 维数改进中的基本逻辑。

2017年10月11日
Schrodinger 方程的衰减性估计：dispersive estimate 与 Strichartz

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原题：关于shordinger方程的衰减性估计

旧站归档中的这篇正文原本为空。

补充说明

以下是新整理的中文说明；上方旧博客原文保持不变。

自由 Schrodinger 方程

$$i\partial_tu+\Delta u=0,\qquad u(0)=u_0$$

的解为 $u(t)=e^{it\Delta}u_0$。衰减估计描述的是：初始波包随着时间扩散，点态振幅下降。

Schrodinger 衰减估计来自自由传播核的二次振荡，进一步导出 Strichartz estimates。

1. 核函数公式

在 $\mathbb R^d$ 上，传播算子有显式核

$$e^{it\Delta}u_0(x)=\frac1{(4\pi it)^{d/2}}\int_{\mathbb R^d}e^{i|x-y|^2/(4t)}u_0(y)\,dy.$$

直接取绝对值得到 dispersive estimate：

$$\|e^{it\Delta}u_0\|_{L^\infty}\le C|t|^{-d/2}\|u_0\|_{L^1}.$$

2. 衰减来自振荡

核的大小给出 $|t|^{-d/2}$，本质上是相位 $|x-y|^2/(4t)$ 的非退化二次振荡。高维中波包扩散到更大的空间体积，所以衰减更快。

3. Strichartz 估计

把 dispersive estimate 与 $L^2$ 守恒结合，通过 $TT^*$ 方法可以得到 Strichartz estimates：

$$\|u\|_{L_t^qL_x^r}\le C\|u_0\|_{L^2},$$

其中 $(q,r)$ 满足 Schrodinger admissible 条件。

4. 非线性方程中的作用

对非线性 Schrodinger 方程，衰减估计控制 Duhamel 项，使局部适定性、散射、小数据全局解等问题可以在函数空间中闭合。

2017年9月25日
与调和函数正交的函数是否一定为零？从多项式密度到分布版本

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原题：与调和函数正交的函数是否一定是0

这是来自mathoverflow的一个问题：

原始的问题是简单的，陈述如下：

问题1： $f\in C_{c}^{\infty}(B)$ ，且满足对任意满足： $\exists n\in N^*$ , $\Delta^n g=0$ 的函数 $g$ ,有 $\int_{B}fg=0$ ,那么 $f=0$ 。

证明只需注意到所有多项式都满足条件以及weierstrass逼近定理。

人们自然想到将算子 $\Delta$ 推广到算子 $\Delta_f=f\Delta$ ，这将导致如下问题。

问题2 $f\in C_{c}^{\infty}(B)$ ，且满足对任意满足： $\exists n\in N^*$ , $(\Delta_f)^n g=0$ 的函数 $g$ ,有 $\int_{B}fg=0$ ,那么 $f=0$ 。

问题1在分布意义下是这样的：

问题3： $T$ 是一个分布，满足对任意 $\exists n\in N^*,\Delta^n g=0$ 的测试函数空间中的函数 $g\in D(B)$ ,成立有 $T(g)=0$ ，则 $T=0$ 。

同样的问题2也能放入分布的框架下：

问题4 $T$ 是一个分布，满足对任意 $\exists n\in N^*,\Delta_f^n g=0$ 的测试函数空间中的函数 $g\in D(B)$ ,成立有 $T(g)=0$ ，则 $T=0$ 。

对于简单的f，问题4是对的。比如f为常数函数和线性函数。

补充说明

以下是新整理的中文说明；上方旧博客原文保持不变。

一个自然问题是：如果函数 $f$ 与所有调和函数都正交，是否推出 $f=0$？答案取决于所在区域、测试函数空间和“调和函数族”是否足够大。

与所有调和函数正交是否推出函数为零，关键取决于调和测试函数族的密度。

1. 基本问题

设 $\Omega$ 是区域，若

$$\int_\Omega f(x)h(x)\,dx=0$$

对所有满足 $\Delta h=0$ 的 $h$ 都成立，是否推出 $f=0$？

在某些简单情形下，答案是肯定的，因为调和多项式或普通多项式在相关函数空间中足够稠密。

2. Weierstrass 逼近

若所有多项式都包含在允许的测试函数族里，或者可以由调和对象生成足够多的多项式，那么由 Weierstrass theorem，连续函数可被多项式一致逼近。此时正交于所有测试函数会推出 $f$ 作为测度为零。

3. 算子推广

把 Laplacian 换成一般算子 $L$ 后，问题变成：$Lh=0$ 的解空间是否足以分离所有 $f$？这与 Runge approximation、unique continuation 和椭圆算子的可解性有关。

4. 分布版本

若 $T$ 是分布，且

$$\langle T,\varphi\rangle=0$$

对所有 $L\varphi=0$ 的测试函数成立，是否推出 $T=0$？这个问题更敏感，因为测试函数必须同时满足 PDE 和支撑/边界条件。

5. 关键点

正交条件本身不神秘，真正的问题是解空间的密度。如果 PDE 的解族在目标空间中稠密，就能推出唯一性；如果解族太小，就会存在非零对象与它全部正交。

2017年9月25日