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分类： Teichmuller theory

  • Flat surface 1：从拓扑覆盖到 translation structure

    旧博客原文

    原题：Flat surface 1

    Topological point of view:

    in topological point of view a flat surface is a topological space M with a (ramified in nontrivial case) map\pi:M\longrightarrow T^2.

    and the map satisfied:\pi is not ramified on \pi^{-1}(T^2-\{0\}) is not ramified and defined a covering map.

    Geometric-analytic point of view:

    we begin with compact connected oriented surface M,and a nonempty finite subset \Sigma=\{A_1,...,A_n\} of M.and

    translation surface of type k:

    translation structure:

    complex structure:

     

    补充说明

    以下是新整理的中文说明；上方旧博客原文保持不变。

    flat surface 可以从两个角度理解。拓扑上，它像一个带有限分歧点的覆盖空间；几何分析上，它是一个曲面，除有限个锥点外局部都与欧氏平面等距。

    Flat surface 1：从拓扑覆盖到 translation structure
    Flat surface 可由多边形边粘合得到，除有限锥点外局部坐标变换都是平移。

    1. 拓扑观点

    给定紧致定向曲面 $M$ 和有限集合 $\Sigma$。在 $M\setminus\Sigma$ 上，局部坐标变换若都是平移

    $$z\mapsto z+c,$$

    就得到 translation structure。若绕 $\Sigma$ 中的点一圈，角度可能是 $2\pi(k+1)$，这些点就是锥奇点。

    2. 多边形模型

    最直观的构造是取平面中的多边形，把平行且等长的边按平移粘起来。粘合后，内部仍然平坦，边也消失，只有若干顶点合并成锥点。

    3. 复分析观点

    translation surface 等价于 Riemann surface 上的 holomorphic 1-form $\omega$。在 $\omega$ 非零处，局部坐标由

    $$z(p)=\int^p\omega$$

    给出；在 $\omega$ 的零点处出现锥角。

    4. 动力系统入口

    在 flat surface 上沿固定方向走直线，会得到 translation flow。它连接了 billiards、Teichmuller flow、interval exchange transformation 和模空间动力系统，是后续研究的基本对象。