Flat surface 1：从拓扑覆盖到 translation structure

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旧博客原文

原题：Flat surface 1

Topological point of view:

in topological point of view a flat surface is a topological space $M$ with a (ramified in nontrivial case) map $\pi:M\longrightarrow T^2$ .

and the map satisfied: $\pi$ is not ramified on $\pi^{-1}(T^2-\{0\})$ is not ramified and defined a covering map.

Geometric-analytic point of view:

we begin with compact connected oriented surface $M$ ,and a nonempty finite subset $\Sigma=\{A_1,...,A_n\}$ of M.and

translation surface of type $k$ :

translation structure:

complex structure:

以下是新整理的中文说明；上方旧博客原文保持不变。

flat surface 可以从两个角度理解。拓扑上，它像一个带有限分歧点的覆盖空间；几何分析上，它是一个曲面，除有限个锥点外局部都与欧氏平面等距。

给定紧致定向曲面 $M$ 和有限集合 $\Sigma$。在 $M\setminus\Sigma$ 上，局部坐标变换若都是平移

$$z\mapsto z+c,$$

就得到 translation structure。若绕 $\Sigma$ 中的点一圈，角度可能是 $2\pi(k+1)$，这些点就是锥奇点。

最直观的构造是取平面中的多边形，把平行且等长的边按平移粘起来。粘合后，内部仍然平坦，边也消失，只有若干顶点合并成锥点。

translation surface 等价于 Riemann surface 上的 holomorphic 1-form $\omega$。在 $\omega$ 非零处，局部坐标由

$$z(p)=\int^p\omega$$

给出；在 $\omega$ 的零点处出现锥角。

在 flat surface 上沿固定方向走直线，会得到 translation flow。它连接了 billiards、Teichmuller flow、interval exchange transformation 和模空间动力系统，是后续研究的基本对象。