Schrodinger 方程的衰减性估计：dispersive estimate 与 Strichartz

自由 Schrodinger 方程

$$i\partial_tu+\Delta u=0,\qquad u(0)=u_0$$

的解为 $u(t)=e^{it\Delta}u_0$。衰减估计描述的是：初始波包随着时间扩散，点态振幅下降。

1. 核函数公式

在 $\mathbb R^d$ 上，传播算子有显式核

$$e^{it\Delta}u_0(x)=\frac1{(4\pi it)^{d/2}}\int_{\mathbb R^d}e^{i|x-y|^2/(4t)}u_0(y)\,dy.$$

直接取绝对值得到 dispersive estimate：

$$\|e^{it\Delta}u_0\|_{L^\infty}\le C|t|^{-d/2}\|u_0\|_{L^1}.$$

2. 衰减来自振荡

核的大小给出 $|t|^{-d/2}$，本质上是相位 $|x-y|^2/(4t)$ 的非退化二次振荡。高维中波包扩散到更大的空间体积，所以衰减更快。

3. Strichartz 估计

把 dispersive estimate 与 $L^2$ 守恒结合，通过 $TT^*$ 方法可以得到 Strichartz estimates：

$$\|u\|_{L_t^qL_x^r}\le C\|u_0\|_{L^2},$$

其中 $(q,r)$ 满足 Schrodinger admissible 条件。

4. 非线性方程中的作用

对非线性 Schrodinger 方程，衰减估计控制 Duhamel 项，使局部适定性、散射、小数据全局解等问题可以在函数空间中闭合。