动力系统笔记（一）：transitivity, minimality 与 Birkhoff 回复

旧博客原文

原题：动力系统笔记

 

\section{基本性质，例子}
\subsection{例子和基本性质}
在这一章的第一节引入了我们的研究对象，一般是一个紧的度量空间$X$装备上了一个同胚

介绍了三个简单例子，包括上的加倍映射，旋转映射以及上的平移映射。
加倍映射会出现在微分流形中一些函数的singular point，也就是的地方附近的环绕数计算，还有一些scalling变换或者是一些多尺度的问题里。\\
旋转映射会和旋转数是有理数还是无理数有关,相关的wely准则告诉我们如果是无理数的话会是每个点的轨道均匀分布的，稠密性在动力系统里面说就是这个动力系统是minimal的。相关的问题有sarnack猜想在Torus上的特殊情形，目前半解析的$T^2$情形已经解决，这是最近的工作，后续很多工作在进行，本质困难来自解析数论。\\
平移映射我不是很懂，第二章中讲的Van der warden定理的证明是一个好例子，动力系统中的回复定理主要是用来刻画这些动力系统内蕴的算术性质的，basic ideal是如下事实：\\
将一个大的集合分类，同一类有序的出现的存在性。

\subsection{Transitivity}
这个性质是指一个动力系统中存在轨道在动力系统中稠密。\\
动力系统往往具有transitivity的性质，加倍映射的例子用二进制分解构造，平移映射构造transitivity point的方法与之雷同，旋转映射情形这是初等的。\\
transitivity会有很多等价的刻画，包括四种：

\begin{thm}(transitivity的等价定义)\\
1.transitivity\\
2. open,或者是一个稠密集\\
3.开集,,\\
4.是一个集合
\end{thm}
证明都是标准的，提两个关键点，第一点是注意到这个集合是$T$不变的，第二点是注意到transitive point可以通过选取一组开集集进行描述从而有集合等式：

\subsection{一个和矩阵有关的例子}
定义了一个和矩阵有关的动力系统，并且说明了这个动力系统是transitive的当且仅当底层的矩阵是不可约的，对于矩阵不可约这个概念不熟所以这个例子没有仔细看。
\subsection{minimality和Birkhoff回复定理}
我认为这部分内容是Pollicott书第一章最有趣的部分。\\
minimality定义是动力系统所有的点都是transitivity point。\\
也有三个等价定义，其他两个是：\\
不变集只有和空集\\
任何开集通过T作用生成的集合是全空间\\

 

可以看出来这三个定义都是transitivity情形对应定义的加强版。这些证明也是标准的，接下来一个定理表明这个空间可以在不变的意义下分解成很多小的空间，每个都是不能再分解的，这个定理的证明的两个关键点是：
1.zorn lemma，2.minimal性质的第二点\\

 

那么马上我们就可以得到minimality的定理系统满足birkhoff回复定理：\\

Birkhoff回复定理在高维情形也会很有趣，我们这时就需要多个可交换的动力系统（为什么一定要可交换？一种解释是可交换大幅降低复杂度）一旦这些动力系统被证明是minimal的，我们用类似的路线建立起以上定理是没有本质困难的。\\
步骤一：建立起transitive的相关定理\\
步骤二：建立起minimal的相关定理\\
步骤三：说明不变的集合满足zorn lemma，所以有最小元\\
整个过程在乘积空间中进行
\newpage

\section{Birkhoff回复定理蕴含Van Der Warden定理}
\subsection{Van Der Warden定理与它的动力系统解释}
这是一个组合定理，原始证明是很trick的，单遵老先生有一个证明，很trick，高中的时候尝试过证明，自己证了一个星期证明不出来就看掉了，现在回想起来应该跟当时的工具太原始了有关系。我想强调的是并不是数学思想的飞跃，而是数学工具的升级使得这个问题变简单了。\\

 

原始问题是将分成若干个类，一定存在一个类存在任意长等差数列。\\

 

怎么转化成一个组合问题呢，其实用第一章中的装备上平移这个同胚构成的动力系统就够了，等差数列的存在性等价于若干个可以交换的映射，其实就是平移的步长不一样下的都回到原始值附近，这是birkhoff回复定理能够告诉我们的。\\

关于细节的建立
第一步是简单的，问题出在第二步，也就是证明整个动力系统是minimal的这一步上，我们知道这个动力系统是初始状态通过平移生成再取闭包得到的，所以天然是transitivity的，如果是minimality的，那么就可以用birkhoff定理得到结果了。这其实不难，因为这个距离空间是non-archimeadian的，用初始状态的平移去逼近就好了。\\

上面这一段划去，实际上要想真正建立一个动力系统本身是minimal的性质，本质上需要比连续性更强的某种正则性，比如一个lipchitz连续性的动力系统就是minimal的。但是仅仅找到一个紧集是minimal的时简单是事情，用minimal等价定义第二条加zorn引理就可以做到。好了现在我们有了一个minimal的动力系统，我们只需要建立多重birkhoff回复定理就完成了证明。\\

在思考多重birkhoff回复定理的过程中我发现了几种方式来构建整个框架，pollicott上标准的证明是利用乘积空间的对角线作为低空间加上归纳法，我尝试过将对角线作为低空间证明但是失败了，主要原因是对角线在乘积空间中是低维子集我不知道怎么将合适映射限制到这个空间上，事实也证明做归纳法的话我们可以转而对映射而不是空间做文章而规避这个困难。\\

但是在这个过程中我发现了另外一个有意思的现象，就是我们可以归纳的构造出一个集合，至少有限步的构造在逻辑上式对的，利用算子之间的交换性得到一个很好地X的子空间，在上面的作用也有很好的性质，但是还不够好。具体的说，是一种纤维结构的空间，在底空间上作用是transitive的，在第一层纤维上的作用是transitive的，依次类推。由于交换性可以导致在每一个section上的作用都是trsnsitive的。但是不好的地方在于每个想要在全空间中transitive都必须借助别的，换而言之每个都只管一层。所以这并不是我们想要的空间。\\

这样构造出来的空间在这里可能没有用，但是这个空间本身具备很好的性质，而就算我们知道多重回复定理这样的空间也是构造不出来的，注意我们并不是因为构造了一个在上面”一致的”transitivity的空间而把回复定理证明出来了，而是用了一些更弱的argument达到目的。这个空间可能在计算全空间上某些可交换的映射的特征时有用，尤其在可以证明这个空间和全空间只差一个零测集的情况下。\\

猜想：存在一个,$T^iT^j=T^jT^i$，并不存在满足某种”一致”minimal的子空间。但是我们知道多重回复定理是对的。\\

总之用归纳的方法加上一些拓扑的标准的方法我们可以得到多重回复定理从而完成证明。
\newpage

\section{拓扑熵}
拓扑熵的定义可复杂了，拓扑熵是一个描述拓扑动力系统复杂程度的量。顺序是先引入标准定义和基本性质，然后给出一个计算方法，再然后引入spanning set和separeting set，利用这两种集合引入等价的定义方法，再证明amernov定理：,最后证明动力系统之间的半共轭会导致熵之间的不等式。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\newpage
$f(x),g(x)\in C_{c}^{\infty}(R^n)$
\[f*g(x)=\int_{R^n}f(\xi)g(x-\xi)d\xi \]
\[x=(x_1,x_2,…,x_n)\in R^n\]
\[g(x)=\frac{1}{x_1^2+x_2^2…+x_n^2+1}\]
\[f*g(x)=\int_{R^n}f(\xi)g(x-\xi)d\xi\sim\sum_{k_1=-\infty}^{\infty}…\sum_{k_n=-\infty}^{\infty}\frac{f(x_1-k_1,x_2-k_2,…,x_n-k_n)}{k_1^2+k_2^2+…+k_n^2+1} \]
\[\sum_{k_1=-\infty}^{\infty}…\sum_{k_n=-\infty}^{\infty}\frac{f(x_1-k_1,x_2-k_2,…,x_n-k_n)}{k_1^2+k_2^2+…+k_n^2+1}=\sum_{\xi\in Z^n}f(x-\xi)g(\xi)=\int_{\xi\in R^n}f(x-\xi)\delta g(\xi) d\xi\]\\
(Young inequality)
$f\in L_1(R^n)$,$g\in L^p(R^n)$:
\[ ||f*g||_{p}\leq ||f||_1||g||_{p} \]

(hardy-litterwood-soblev inequality)
$p,r>1$,$0<\lambda<n$,$\frac{1}{p}+\frac{\lambda}{n}+\frac{1}{r}=2$,$f\in L^p(R^n),h\in L^r(R^n)$.exists a constant C,$C\sim n,\lambda,p$.
\[|\int_{R^n}\int_{R^n} f(x)|x-y|^{\lambda}g(y)dxdy|\leq C(n,\lambda,p)||f||_p||h||_r\]

\section{热核正则性}
情况的技巧
gap太多了，主要集中在两条，第一条是需要研究billiard上热核的正则性，这需要建立大量的耗散性先验估计。连续是显然的，我目前连C1都证明不出来，因为其中需要处理一个级数和。如果这一条对了，那么我们集中看t趋于0正时的热核。

 

\section{Caldron Zygmund算子的谱}
我们需要刻画Caldron Zygmund算子作用在某个区域上之后产生的谱会携带多少区域的形状的信息。通过在热核中令这个会化简为简单的情况，再加上凸性。
第二条是热核对t求任意次导以后是Caldero ́ n Zygmund算子，对这个算子卷积上一个具备Boudary正则性的区域上特征函数的的谱我们有没有好的刻画，这其中能不能蕴含这个区域的几何信息。

 

---

补充说明

以下是新整理的中文说明；上方旧博客原文保持不变。

这一篇笔记想讲清楚一个很基础但是很重要的转换：很多组合问题，尤其是关于等差数列和回复现象的问题，可以放到一个紧的动力系统里面看。这样做以后，原来很硬的组合构造会变成轨道闭包、minimal set 和 Birkhoff 回复定理。

1. 基本例子：加倍映射、旋转和平移

一个拓扑动力系统可以写成 $(X,T)$，其中 $X$ 是紧度量空间，$T:X\to X$ 是连续映射；如果 $T$ 是同胚，那么可以向前也可以向后迭代。我们真正研究的是一条轨道

$$x,\;Tx,\;T^2x,\;\ldots.$$

最基本的例子有三个。

第一是圆周上的加倍映射

$$T(x)=2x\pmod 1.$$

这个例子带有扩张性。用二进制展开看，$T$ 只是把二进制小数点向右移动一位。因此只要选一个二进制展开中含有足够多有限字串的点，它的轨道就会在圆周上到处跑。这个例子是理解 symbolic dynamics 的入口。

第二是圆周旋转

$$R_\alpha(x)=x+\alpha\pmod 1.$$

如果 $\alpha$ 是有理数，那么所有轨道都是周期的；如果 $\alpha$ 是无理数，那么每条轨道都稠密，并且更强地，轨道是均匀分布的。这里最常用的判别工具是 Weyl criterion：判断均匀分布可以转化成检查所有非平凡 Fourier characters 的平均趋于零。

$$\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}e^{2\pi i k(x+n\alpha)}\to 0,\qquad k\ne0.$$

第三是环面平移

$$T_\omega x=x+\omega\pmod{\mathbb Z^d}.$$

当 $1,\omega_1,\ldots,\omega_d$ 在 $\mathbb Q$ 上线性无关时，轨道在 $\mathbb T^d$ 中稠密。这个例子和 Sarnak 猜想、nilsequence、Kronecker system 都有关。对于零熵系统，Sarnak 猜想说莫比乌斯函数应该和系统产生的观测序列正交；圆周旋转和环面平移是这类问题最早、最干净的模型。

2. Transitivity：存在一条稠密轨道

定义：如果存在 $x\in X$，使得

$$\overline{\{T^n x:n\ge0\}}=X,$$

那么称 $(X,T)$ 是 topologically transitive，这个 $x$ 叫 transitive point。

在紧度量空间且没有孤立点的常见情形下，可以用开集来刻画 transitivity：

$$\text{对任意非空开集 }U,V\subset X,\quad \exists n\ge0,\quad T^nU\cap V\ne\varnothing.$$

这个刻画很有用，因为它不需要显式构造那条稠密轨道，只需要说明任意两个局部区域之间存在一次迭代连接。

为什么加倍映射有 transitive point？因为二进制展开可以人为拼接所有有限 0-1 字串。这样构造出来的点，在 shift 意义下会依次出现任意有限模式，因此轨道稠密。这个想法之后会在 Van der Waerden 定理的证明里再次出现：有限组合结构被编码成一个无限序列，动力系统研究的是这个无限序列的 shift orbit closure。

3. Minimality：每一条轨道都稠密

transitivity 只要求存在一条稠密轨道。minimality 强得多：它要求每一点都是 transitive point。

定义：如果对所有 $x\in X$，都有

$$\overline{\{T^n x:n\ge0\}}=X,$$

那么称 $(X,T)$ 是 minimal。

它有两个非常重要的等价刻画：

第一，$X$ 没有非空真闭不变子集。也就是说，如果 $Y\subset X$ 闭且 $T(Y)\subset Y$，那么 $Y=\varnothing$ 或 $Y=X$。

第二，对任意非空开集 $U\subset X$，有

$$X=\bigcup_{n\ge0}T^{-n}U.$$

直观上，这表示每个点迟早都会进入 $U$。在紧性下还可以加强成有限覆盖：存在 $N$，使得

$$X=\bigcup_{n=0}^{N}T^{-n}U.$$

这就是 minimal system 中的 uniformly recurrent 现象。

Zorn lemma 在这里的作用是保证 minimal 子系统的存在。任意紧动力系统里，只要取一个非空闭不变集族，用包含关系作偏序，就可以用 Zorn 引理取到极小闭不变集。这个极小闭不变集上的动力系统就是 minimal 的。所以即使原系统不 minimal，我们也总能在轨道闭包里找到 minimal 子系统。

4. Birkhoff 回复定理

在拓扑动力系统里，一个基本的 Birkhoff 回复命题可以这样理解：

如果 $(X,T)$ 是紧动力系统，那么存在 recurrent point；如果系统是 minimal 的，那么每个点都是 recurrent 的。

这里 recurrent 的意思是，存在 $n_j\to\infty$，使

$$T^{n_j}x\to x.$$

对 minimal system 来说，这几乎是定义的直接后果：因为 $x$ 的轨道稠密，所以它必然反复进入 $x$ 的任意小邻域。

更有力量的是多重回复。若 $T_1,\ldots,T_k$ 是两两可交换的连续变换，在合适的 minimal 子系统上，可以找到同一个时间参数让多个方向同时回到某个开集附近。这里“可交换”是关键，否则不同方向的迭代顺序会产生额外复杂度。

5. Van der Waerden 定理的动力系统证明

Van der Waerden 定理说：把自然数染成有限多种颜色以后，必定存在任意长的同色等差数列。

动力系统证明的想法如下。给定一个染色

$$c:\mathbb N\to\{1,\ldots,r\},$$

把它看成一个无限序列

$$x=(c(0),c(1),c(2),\ldots)\in\{1,\ldots,r\}^{\mathbb N}.$$

在紧空间 $\{1,\ldots,r\}^{\mathbb N}$ 上考虑 shift map

$$\sigma(x_0,x_1,x_2,\ldots)=(x_1,x_2,\ldots).$$

取轨道闭包

$$Y=\overline{\{\sigma^n x:n\ge0\}}.$$

这个 $Y$ 是非空紧不变集。再从 $Y$ 中取一个 minimal 子系统 $M$。设 $y\in M$，并看 $y_0$ 这个坐标的颜色。令

$$U=\{z\in M:z_0=y_0\},$$

这是一个非空开集。多重回复告诉我们，对任意 $k$，存在 $d>0$ 和某个点 $z\in U$，使

$$z,\;\sigma^d z,\;\sigma^{2d}z,\ldots,\sigma^{(k-1)d}z\in U.$$

翻译回坐标，就是

$$z_0=z_d=z_{2d}=\cdots=z_{(k-1)d}=y_0.$$

因为 $z$ 属于原染色序列的轨道闭包，有限坐标模式可以被原来的序列 $x$ 近似出来，于是在原来的自然数染色中存在

$$a,\;a+d,\;a+2d,\ldots,a+(k-1)d$$

这些位置颜色相同。这就是 Van der Waerden 定理。

6. 这条路线真正说明了什么

这个证明没有给出最优界，也不是组合意义上最有效的证明。但它说明了一件非常深的事：有限组合结构可以来自无限紧空间里的回复。

原来要在自然数里找同色等差数列，现在变成了：

第一，把染色编码成 shift space 中的点；第二，取轨道闭包；第三，取 minimal 子系统；第四，用多重回复；第五，把有限模式拉回原来的染色。

这个过程是 Furstenberg 观点的雏形。它后来可以继续发展到 Szemerédi 定理、遍历 Ramsey 理论，以及 nilsystem 和高阶 Fourier 分析之间的联系。

所以这篇笔记真正想记录的是：动力系统不是给组合定理套一层语言，而是在解释为什么“局部有限模式”会被“全局回复结构”强迫出现。