短区间中 Mobius 函数与 nil-sequence 的相关估计

旧博客原文

原题：The correlation of Mobius function and nil-sequences in short interval

I wish to establish the following estimate:

Conjecture :(correlation of Mobius function and nil-sequences in short interval)

is the liouville function we wish the following estimate is true.

.

Where we have as , is a compact space.

I do not know how to prove this but this is result is valuable to consider, because by a Fourier identity we could transform the difficulty of (log average) Chowla conjecture to this type of result.

There is some clue to show this type of result could be true, the first one is the result established by Matomaki and Raziwill in 2015:

Theorem (multiplication function in short interval)

is a multiplicative function, i.e. . as , then we have the following result,

.

And there also exists the result which could be established by Vinagrodov estimate and B-S-Z critation :

Theorem(correlation of multiplication function and nil-sequences in long interval)

is a multiplicative function, i.e. . is a polynomial function then we have the following result,

.

补充说明

以下是新整理的中文说明；上方旧博客原文保持不变。

希望建立的估计可以粗略写成：对 Liouville 函数或 Mobius 函数 $\lambda(n)$，以及复杂度受控的 nil-sequence $F(g^n x)$，在短区间 $I=[X,X+H]$ 上有

$$\frac1H\sum_{n\in I}\lambda(n)F(g^n x)=o(1).$$

这里 $H=H(X)\to\infty$，但 $H$ 可以远小于 $X$。这类估计如果成立，会把短区间乘法函数理论和 Sarnak/Chowla 型问题连接起来。

1. 为什么是 nil-sequence

nil-sequence 是低复杂度动力系统轨道的模型。多项式相位 $e(P(n))$ 是最基本例子，更高阶 nilmanifold 上的轨道则对应高阶 Fourier 分析中的结构部分。若 Mobius 与所有这类低复杂度序列正交，就说明它在动力系统意义下表现得像随机噪声。

2. 短区间困难

长区间中可以使用 Bourgain-Sarnak-Ziegler criterion、Vinogradov 型估计和 nilsequence equidistribution。短区间的问题更硬，因为平均长度不够，许多全局消去无法直接使用。

Matomaki-Radziwill 的定理说明，乘法函数在几乎所有短区间中仍有平均消去。这给出一个强烈信号：如果 nil-sequence 的结构在短窗口上足够规则，那么相关和也应当消失。

3. 与 Chowla 的关系

对数平均 Chowla 猜想可以通过 Fourier 展开和结构分解，转化为乘法函数与低复杂度序列的相关估计。这里的短区间版本相当于把“全局随机性”压缩到局部窗口中观察。

4. 可能路线

一个可行框架是：先用短区间乘法函数定理处理非结构部分，再对 nil-orbit 做定量 equidistribution 分解，最后用 BSZ 型准则控制剩余相关。核心瓶颈是所有常数都必须对短区间长度 $H$ 有足够好的依赖。