Van der Corput trick：从差分到均匀分布

旧博客原文

原题：Van der curpurt trick

There is the statement of Van der carport theorem:

Given a sequences $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ in $S_1$ , if $\forall k\in N^*$ , $\{x_{n+k}-x_n\}$ is uniformly distributed, then $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ is uniformly distributed.

I do not know how to establish this theorem with no extra condition, but this result is true at least for polynomial flow.

$|\sum_{n=1}^Ne^{2\pi imQ(n)}|= \sqrt{(\sum_{n=1}^Ne^{2\pi imQ(n)})(\overline{\sum_{n=1}^Ne^{2\pi imQ(n)}})}$

$= \sqrt{\sum_{h_1=1}^N\sum_{n=1}^{N-h_1}e^{2\pi imQ(n+h_1)-Q(n)}}=\sqrt{\sum_{h_1=1}^N\sum_{n=1}^{N-h_1}e^{2\pi im \partial^1_{h_1}Q(n)}} \leq \sqrt{\sum_{h_1=1}^N|\sum_{n=1}^{N-h_1}e^{2\pi \partial^1_{h_1}Q(n)}|}$

$= \sqrt{\sum_{h_1=1}^N\sqrt{ (\sum_{n=1}^{N-h_1}e^{2\pi \partial^1_{h_1}Q(n)} )(\overline{\sum_{n=1}^{N-h}e^{2\pi \partial^1_{h_1}Q(n)})}}}\leq\sqrt{\sum_{h_1=1}^N\sqrt{ \sum_{h_2=1}^N|\sum_{n=1}^{N-h_1}e^{2\pi\partial^1_{h_2} \partial^1_hQ(n)} |}}$

$\leq ....\leq$

$\sqrt{\sum_{h_1=1}^N\sqrt{ \sum_{h_2=1}^N \sqrt{....\sqrt{\sum_{h_{k-1}=1}^{N-h_{k-2}}|\sum_{n=1}^{N-h_{k-1}}e^{2\pi\partial_{h_1h_2...h_{k-1}Q(n)}}|}}}} =o(1)$

This type of trick could also establish the following result, which could be understand as a discretization of the Vinegradov lemma.

Uniformly distribution result of :
Given ,  coverages
 to a uniformly distribution in 
 as .

This trick could also help to establish estimate of correlation of low complexity sequences and multiplicative function, such as result:

$S(x)=\sum_{n\le x}\left(\frac{n}{p}\right)\mu(n)=o(n)$

Maybe with the help of B-Z-S theorem.

The standard estimate of Mobius function is:

$\sum_{n\leq X:n\equiv a~(mod~q)} \mu^2(n)=\frac{6}{\pi^2} \prod_{p|q} \left(1-\frac{1}{p^2} \right)\frac{X}{q}+E(X,q,a)$

The error term $O_{\varepsilon}\left(\sqrt{X/q} +q^{\frac{1}{2}+\varepsilon}\right)$ is true for $q\leq X^{\frac{2}{3}-\varepsilon}$ .

补充说明

以下是新整理的中文说明；上方旧博客原文保持不变。

Van der Corput trick 的核心是：不要直接估计一个振荡平均，而是估计它与平移后的相关。若所有非零差分序列都足够均匀，那么原序列本身也应当均匀。

Van der Corput trick：从差分到均匀分布 — Van der Corput trick 用差分相关替代原始平均，在多项式相位问题中会降低次数。

1. 均匀分布版本

设 $(a_n)$ 是 $\mathbb T^d$ 中的序列。一个典型命题是：若对每个 $h\ne0$，差分序列

$$a_{n+h}-a_n$$

都在 $\mathbb T^d$ 中均匀分布，那么 $a_n$ 也均匀分布。证明通常通过 Weyl criterion，把问题化成指数和估计。

2. 指数和不等式

对复数序列 $u_n$，Van der Corput 不等式给出

$$\left|\frac1N\sum_{n\le N}u_n\right|^2
\lesssim \frac1H+\frac1H\sum_{1\le h\le H}\left|\frac1N\sum_{n\le N-h}u_{n+h}\overline{u_n}\right|.$$

右侧出现的就是相关项。若相关项都小，则原平均小。

3. 多项式相位

当 $u_n=e(P(n))$ 且 $P$ 是次数 $k$ 的多项式时，差分 $P(n+h)-P(n)$ 的次数降为 $k-1$。因此可以用归纳证明 Weyl 型均匀分布结论。

4. 与乘法函数相关

在 Mobius 或 Liouville 与低复杂度序列的相关估计中，Van der Corput trick 常用于把一个序列的复杂度下降一层，再配合 Bourgain-Sarnak-Ziegler criterion。它的角色不是给出最终消去，而是把问题改写成更适合结构分析的形式。

Van der Corput trick：从差分到均匀分布

旧博客原文

补充说明

1. 均匀分布版本

2. 指数和不等式

3. 多项式相位

4. 与乘法函数相关

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