用互不相交闭区间覆盖半开区间：Ostrowski 表示与有效均匀分布

旧博客原文

原题：Covering a non-closed interval by disjoint closed intervals

this note will talk about the Ostrowski representation and approximation by continue fraction.

As well-known,by the Weyl criterion, is uniformly distribution in iff .

i.e. we have:,we have:

.

but this will not give the effective version.i.e. we do not the the more information about the decay of .

we will give a approach of effective version of with smooth condition by give another proof of the uniformly distribution (in fact to to decomposition the interval in to a finite sums of special intervals).and get the result:

if the term in the continuous fraction of have a up bound.this is so called is smooth.

补充说明

以下是新整理的中文说明；上方旧博客原文保持不变。

讨论无理旋转 $x\mapsto x+\alpha$ 的均匀分布时，Weyl criterion 告诉我们

$$\frac1N\sum_{n\le N}e(k n\alpha)\to0,\qquad k\ne0.$$

但这个判别法本身并不给出非常几何的有效误差。若想知道轨道落入某个区间 $I$ 的次数和 $N|I|$ 相差多少，就需要把区间和时间长度一起分解得更细。

1. 半开区间为什么麻烦

区间若不是闭的，端点会造成计数上的小麻烦；但在动力系统里，端点通常只贡献有限误差。因此可以把半开区间分解成有限个互不相交的闭区间，再把端点误差单独处理。

2. 连分数与最佳逼近

设 $\alpha=[a_0;a_1,a_2,\ldots]$，其收敛分母为 $q_j$。最佳逼近性质说明，长度约为 $\|q_j\alpha\|$ 的小区间正好对应旋转轨道的自然尺度。

Ostrowski 表示把整数 $N$ 写成

$$N=\sum_j b_j q_j,$$

其中系数 $b_j$ 由连分数项控制。于是前 $N$ 次轨道可以分成若干个以 $q_j$ 为长度的块。

3. 有效均匀分布

若 $\alpha$ 的连分数项有一致上界，也就是 bounded type，那么每个尺度的坏误差都不会积累得太快。这样可以得到 Denjoy-Koksma 型估计：

$$\left|\sum_{n

这就是原来想要的“smooth”或有效版本：不仅知道趋于均匀，还知道偏差怎样增长。