Baragar-Bourgain-Gamburd-Sarnak 猜想：Markov triples 的模 p 连通性

旧博客原文

原题：Baragar-Bourgain-Gamburd-Sarnak conjecture

is the markov triple :

and .

It is easy to see:

.

map markov triple to markov triple.

This is also true for . and the transform and permutation a classical result of markov claim that all solution of  (*) could be generated from . I get a similar result for a similar algebraic equation 1 half years ago when consider a  version of problem about 1-form given by Xu Bin.

Now  we know the graph with root and with node generate by transform is connected.

The B-B-G-S conjecture is is the connected property still true for prime surfficed  large?

补充说明

以下是新整理的中文说明；上方旧博客原文保持不变。

Markov triples 是方程

$$x^2+y^2+z^2=3xyz$$

的正整数解。经典 Markov 定理说，从根解 $(1,1,1)$ 出发，反复使用 Vieta involution

$$(x,y,z)\mapsto (x,y,3xy-z)$$

以及坐标置换，可以生成所有正整数解。

1. 解图

把每个解看作图的一个顶点，若两个解由一次 Vieta involution 或置换相连，就连一条边。整数正解形成一棵以 $(1,1,1)$ 为根的巨大图。

2. 模 p 的问题

把方程放到有限域 $\mathbb F_p$ 上，得到有限集合

$$X_p=\{(x,y,z)\in\mathbb F_p^3:x^2+y^2+z^2=3xyz\}.$$

同样的 involution 仍然作用在 $X_p$ 上。Baragar-Bourgain-Gamburd-Sarnak 方向的问题是：当 $p$ 足够大时，这个作用图是否在主要部分上连通，甚至是否具有 expansion 性质？

3. 为什么这不是普通图论

图的边来自代数自同构，因此顶点集合有强烈的代数几何结构。连通性问题本质上是在问：这些简单变换能否在有限域曲面上产生足够大的轨道。

4. 可能工具

这类问题常混合使用代数几何、有限群展开、谱间隙和 sum-product 现象。若能证明没有大的不变子集，就能排除图分裂成多个大块的可能。