k-curvature 方程的 curvature measure 与可去奇点

对 $k$-curvature 方程，一个自然问题是：若解在孤立点或小集合上奇异，是否可以通过曲率测度判断这个奇点可去？这和调和函数的容量理论非常相似，只是曲率方程是完全非线性的。

1. 曲率测度

若超曲面由图 $u$ 给出，主曲率为 $\kappa_1,\ldots,\kappa_n$，则 $k$-curvature 是

$$\sigma_k(\kappa)=\sum_{i_1<\cdots

对应的 curvature measure 可以理解为 $\sigma_k(\kappa)\,dA$ 的弱极限。即使 $u$ 不够光滑，这个测度仍可能有意义。

2. 可去奇点的判据

设 $u$ 在 $\Omega\setminus\{0\}$ 中满足方程。若奇点附近的曲率测度没有原子，或者其质量低于某个容量阈值，那么奇点往往可以去掉，$u$ 延拓为整个 $\Omega$ 上的弱解。

3. 容量思想

容量衡量一个集合对方程的影响。对 Laplace 方程，点在高维中可能容量为零；对 $k$-Hessian 或 $k$-curvature 方程，临界维数和 $k$ 有关。这决定了哪些奇异集合是“看不见”的。

4. 建立理论的路线

证明通常需要三步：先定义弱曲率测度；再证明光滑逼近下测度收敛；最后用比较原理和容量估计排除奇点处的额外质量。这样可去奇点问题就变成测度是否携带集中曲率。