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Flat surface 1：从拓扑覆盖到 translation structure

旧博客原文

原题：Flat surface 1

Topological point of view:

in topological point of view a flat surface is a topological space $M$ with a (ramified in nontrivial case) map $\pi:M\longrightarrow T^2$ .

and the map satisfied: $\pi$ is not ramified on $\pi^{-1}(T^2-\{0\})$ is not ramified and defined a covering map.

Geometric-analytic point of view:

we begin with compact connected oriented surface $M$ ,and a nonempty finite subset $\Sigma=\{A_1,...,A_n\}$ of M.and

translation surface of type $k$ :

translation structure:

complex structure:

补充说明

以下是新整理的中文说明；上方旧博客原文保持不变。

flat surface 可以从两个角度理解。拓扑上，它像一个带有限分歧点的覆盖空间；几何分析上，它是一个曲面，除有限个锥点外局部都与欧氏平面等距。

Flat surface 可由多边形边粘合得到，除有限锥点外局部坐标变换都是平移。

1. 拓扑观点

给定紧致定向曲面 $M$ 和有限集合 $\Sigma$。在 $M\setminus\Sigma$ 上，局部坐标变换若都是平移

$$z\mapsto z+c,$$

就得到 translation structure。若绕 $\Sigma$ 中的点一圈，角度可能是 $2\pi(k+1)$，这些点就是锥奇点。

2. 多边形模型

最直观的构造是取平面中的多边形，把平行且等长的边按平移粘起来。粘合后，内部仍然平坦，边也消失，只有若干顶点合并成锥点。

3. 复分析观点

translation surface 等价于 Riemann surface 上的 holomorphic 1-form $\omega$。在 $\omega$ 非零处，局部坐标由

$$z(p)=\int^p\omega$$

给出；在 $\omega$ 的零点处出现锥角。

4. 动力系统入口

在 flat surface 上沿固定方向走直线，会得到 translation flow。它连接了 billiards、Teichmuller flow、interval exchange transformation 和模空间动力系统，是后续研究的基本对象。

2017年9月26日
热核证明指标定理（一）：Dirac 算子、supertrace 与 Chern-Weil

旧博客原文

原题：Heat Kernel proof of Index Theory 1

1. framework of atiyah singer index theory

1.1. A genus form

${(M,g)}$ campact,complete,Riemann manifold without boundary,dim ${ M=2m ,m \in N^* }$ . ${\bigtriangledown^g}$ is the Levi-civita connection on ${TM}$ , ${R=R_g\in \Omega^2(End(TM))}$ .
${\widehat A}$ genus form:

$\displaystyle \widehat A(M,g)=det^{\frac{1}{2}}(\frac{\frac{i}{4\pi}R_g}{sinh(\frac{i}{4\pi}R_g)})\in \Omega(M).$

by chern-weil theory,we know:
${ 1. \widehat A }$ is closed.
${ 2. \widehat A_{g1}-\widehat A_{g2} }$ is exact.
so we can def ${\widehat A_g =\widehat A(M) \ \forall g}$ is a metric on M.
1.2. dirac bundle

${(E,\bigtriangledown^E)}$ is a dirac bundle.
${D: C^\infty(E^+) \rightarrow C^\infty(E^-)}$ is dirac operator.
${F^{E/S}\in End_{Cl(M)}(E)}$ the twisting curvature of ${E}$ .

1.3. supertrace

${Str^{E / S}: End_{cl(M)} \rightarrow C_M}$ . induce map:

$\displaystyle Str^{E/S} : \Omega(End_{cl(M)} (E) )\rightarrow \Omega(M) \otimes C$

determined by:
$\displaystyle Str^{E / S}( w \otimes T) = w \otimes Str^{E / S}(T). \ \forall w \in \Omega (M). \ \forall T \in End_{cl(M)} E.$

1.4. chern class

$\displaystyle ch^{E / S}(E) = Str^{E /S}[exp(\frac{i}{2\pi}F^{E/S})] \in \Omega(M).$

by chern-weil theory,we know:
1. ${ch^{E/S}(E)}$ closed form.
2. ${ch^{E \ S}(E)}$ only depend on the topology of E.
$\displaystyle F^{E \widehat\otimes W/S =F^{E/S} }\otimes 1_W + 1_E \otimes F^W.$

$\displaystyle F^W = F^{W^+} \oplus F^{W^-}.$

$\displaystyle ch^{(\widehat E \otimes W)/S} ,ch(E \widehat\otimes W)=ch^{E/S}(E/S)(ch(F^{W^+})-ch(F^{W^-})).$

Whitney product formula.
1.5. Atiyah-singer index theorem

$\displaystyle Ind D_E=Dim(ker D_E)-Dim(ker D^*_E)=\int\limits_M \widehat A(M,g)ch^{E/S}(E/S).$

2. heat kernel

2.1. basic setting

Assume M is a general Riemann manifold ,assume

$\displaystyle \Phi(d)= \{f\in C^\infty(M) | \|f \| _1< +\infty\}$

Where ${\ \|f\|_1^2 = \int f^2+\int|df|^2}$ .
complete ${\Phi(d) }$ with the norm ${\| . \|_1}$ is the sobolev space ${H^1(M) < L^2(M)}$ .
The extension of operator ${d}$ in ${H^1(M)}$ is called ${\overline d}$ ,assume ${d_c}$ is ${d}$ restrict on ${ C_0^\infty(M)}$ , ${d_c}$ extend to ${H_0^1(M)}$ called ${\overline d_c}$ , ${H_0^1(M)}$ is ${C_o^\infty(M)}$ complete with the norm ${\|.\|_1}$ , of course ${H_0^1(M)\subset H^1(M)}$ .
Sobelev theory tell us, if ${M}$ is a complete Riemann manifold,then ${H_0^1(M)=H^1(M)}$ .
Operator ${\delta=-*d*}$ ,satisfied ${<df,w>=<f,\delta w>}$ ,where * is the Hodge-star operator , ${w}$ is the ${C^\infty}$ 1-form, iff one of ${f,w}$ is compact supp.
$\displaystyle \Phi(\delta)=\{ w \in C^\infty 1-form | \int |w|^2 + \int |\delta w|^2 < +\infty \}$

By a lemma from Gaffney (Ann. of Math , 60,1954,458-466) we have ${ \overline \delta = \overline d_c^*, \overline \delta_c =\overline d^* }$ .
the laplace operator(with Direchlet boundary condition or Neumann boundary condition) is ${\Delta_D = \overline \delta \overline d_c,\Delta_N =\overline \delta_C \overline d}$ , When M is with smooth boundary,then ${\Delta =\Delta_N =general \Delta oprator}$ ,assume M is complete ( ${H_0^1(M)=H^1(M)}$ ),then because ${\overline d_C =\overline d,\overline \delta_C =\overline \delta}$ ,Gaffney proved(Ann. of Math , 60 ,1954,140-145),
$\displaystyle \Delta=\Delta_D=\Delta{\mathbb N}=\overline \delta \overline d$

.
As we all known, ${\Delta}$ is self-adjoint operator,so ${e^{-\Delta t}}$ make up a bounded self-adjoint operator semi group,by the self-adjoint operator theory,if ${dE_ {\lambda} }$ is the spectrum measure of ${\Delta}$ ,then
$\displaystyle e^{-\Delta t} = \int \limits_0^\infty d^{\lambda t}dE_{\lambda} , t>0$

.
And for ${t>0}$ , ${e^{-\Delta t}:L^2(M) \longrightarrow \bigcap_0^\infty D(\Delta^i) \subset C^\infty(M) }$ .when ${f \in L^2(M)}$ ,
$\displaystyle \Delta^i(e^{-\Delta t}) = \int \limits_0^\infty \lambda^i e^{-\Delta t} dE_{\lambda}(f).$

where ${ \bigcap_{i=1}^\infty D(\Delta^i) \subset C^\infty(M)}$ is basic on Weyl theory.
2.2. existence of heat kernel

Now we proof the basic fact:
${Thm 2.1}$ : assume ${M}$ is a complete manifold,then there exist a heat kernel ${H(x,y,t) \in C^\infty(M \times M \times R^+)}$ ,and ${ (e^{-\Delta t}f)(x) = \int_M H(x,z,t-s)H(z,y,s)dz}$ , ${\forall f\in L^2(M)}$ ,satisfied:
${(1) H(x,y,t)=H(y,x,t).\\ (2) \lim\limits_{t \rightarrow 0^+} H(x,y,t)= \delta_x(y).\\ (3) (\Delta - \frac{\partial}{\partial t})H=0.\\ (4) H(x,y,t) = \int H(x,y,t-s) H(z,y,s)dz. }$
Proof:
(A) first proof, ${\forall f \in L^2(M), e^{-\Delta t} f\in C^\infty(M \times R^+)}$ .to proof this,we first proof,in weak sense:

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial t}(e^{-\Delta t} f) = \int\limits_0^\infty -\lambda e^{-\lambda t} dE_{\lambda}(f).$

in fact,we have:
${ \frac{\partial}{\partial t} (e^{-\Delta t} f) \\=\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{1}{\epsilon} [\int \limits_0^\infty e^{-\lambda(t+\epsilon)}dE_{\lambda}(f)-\int\limits_0^\infty e^{-\lambda t} dE_{\lambda}(f)] \\=\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0}[\int\limits_0^A \frac{e^{-\lambda \epsilon}-1}{\epsilon} e^{-\lambda t} dE_{\lambda}(f)+\int\limits_A^\infty \frac{e^{-\lambda\epsilon}-1}{\lambda\epsilon} \lambda e^{-\lambda t}dE_{\lambda}(f)] \\=\int\limits_0^A -\lambda e^{-\lambda t} dE_{\lambda}(f) + O(Ae^{-At} \|f\|) \\ \longrightarrow \int\limits_0^\infty -\lambda e^{-\lambda t} dE_{\lambda}(f) \ as\ {A \ \rightarrow +\infty} \dotfill (\star).}$
rmk: the limit is take in the ${L^2}$ space,every step in the caculate make sence because of the dominating convergence theorem.
so what have we proved ,in fact we proved in the classical sence, ${ \frac{\partial}{\partial t} (e^{-\Delta t} f) }$ exist. and our strategy is to proof any order of weak derivatives of it exist and then use the embedding theorem to prove it is smooth.
in fact to proof ${\frac{\partial}{\partial t}(e^{-\Delta t} f)=\int\limits_0^\infty -\lambda e^{-\lambda}dE_{\lambda}(f)}$ (in weak sence),we need only to proof: ${\forall \psi \in C_0^\infty(M \times R^+)}$ we have:
$\displaystyle \int \frac{\partial \psi}{\partial t}(e^{-\Delta t}f) = -\int \psi(\int\limits_0^\infty -\lambda e^{-\lambda t}dE_{\lambda}(f))$

but because of ${(\star)}$ ,this is obvious,and similar we can proof that (in the weak sence):
$\displaystyle (\Delta+\frac{\partial^2}{\partial t^2})^i(e^{-\lambda t} f)= \int\limits_0^\infty (\lambda+\lambda ^2)^i e^{-\lambda t} dE_{\lambda}(f)$

rmk: there is some thing to explain,why ${\Delta(e^{-\lambda t} f)= \int\limits_0^\infty \lambda e^{-\lambda t} dE_{\lambda}(f)}$ .
anyway,we observe that ${L= \Delta+ \frac{\partial^2}{\partial t^2}}$ is the laplace operator on ${M \times R^+}$ .and we have proved ${e^{-\lambda t}f \in \bigcap^\infty \Phi(L^i)}$ ,and we know that ${ \bigcap^\infty \Phi(L^i) \subset C^\infty }$ .so we proved ${ e^{-\lambda t}f \in C^\infty( M \times R^+).}$
and now we easy to observe that,
if ${f_1(x,t)=e^{-\lambda t} f}$ ,then:
$\displaystyle \frac{\partial}{\partial t} f_1 = - \int\limits_0^\infty \lambda e^{-\lambda t} dE_{\lambda}(f) = -\Delta( e^{-\lambda t} f)=\Delta f_1$

.
so
$\displaystyle ( \Delta - \frac{\partial}{\partial t}) f_1(x,t) = 0$

.
Rmk: ${f_1(x,t) \in C^\infty}$ ,so derivatives is in classical sense.
(B) to proof ${ e^{-\lambda t} f =\int\limits_M H(x,y,t)f(y)dy}$ .
by the decomposition of unity,we can assume ${f \in C_0^\infty(M)}$ ,and ${supp f }$ sufficed small.
consider the operator ${ \circ=\Delta +\frac{\partial}{\partial t}}$ and its quasi fundamental solution (paramatrix) ${\longrightarrow}$ see next section for the serious definition ${\longrightarrow P(x,y,t),P(x,y,t) \in C^\infty (M \times M \times R^+)}$ ,
$\displaystyle \lim \limits_{t \rightarrow 0} P(x,y,t) = \delta_y$

. and ${\forall N > 0, \lim\limits_{t \rightarrow 0} \circ_x P(x,y,t) =O(t^N)}$ ,and when ${d(x,y)}$ suffice small, ${t \rightarrow +0 }$ ,we have expansion:
$\displaystyle P(x,y,t) \sim \frac{exp(-d(x,y)^2/4t)}{(4\pi t)^{n/2}} \sum\limits_i a_i(x,y)t^i.$

where ${n =dim M, d(x,y)= x,y}$ Riemann distance. ${a(x,y) \in C^\infty(M \times M), a_0(x,y) =1}$ ,for ${0< \epsilon<s<t-s}$ ,

${ e^{-\Delta\epsilon}P(x,y,t-\epsilon)-e^{-\Delta(t-\epsilon)}P(x,y,\epsilon)\\ = \int\limits_{\epsilon}^{t-\epsilon} \frac{d}{ds}(e^{-\Delta(t-s)} P(x,y,s))ds\\ =\int\limits_{\epsilon}^{t-\epsilon} [ \Delta e^{ -\Delta(t-s)P(x,y,s)} + e^{-\Delta(t-s)} \frac{\partial P}{\partial s}(x,y,s)]ds\\ =\int\limits_{\epsilon}^{t-\epsilon} e^{-\Delta(t-s)} \circ _xP(x,y,s)ds.}$
use ${t}$ instead of ${t-\epsilon}$ ,and assume ${\epsilon \rightarrow 0}$ ,
$\displaystyle \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0} e^{-\Delta t} P(x,y,\epsilon) = P(x,y,t)-\int\limits_0^t e^{-\Delta(t-s)} \circ_x P(x,y,s)ds =\limits_{def} H(x,y,t).$

assume ${ F(x,y,s) = \circ _x P(x,y,s)}$ ,then
${ \Delta^i \int\limits_0^t e^{- \Delta(t-s)} (x,y,s)ds\\ =\int\limits_0^t\int\limits_0^\infty \lambda^i e^{-\lambda(t-s)} dE_{\lambda}(F(x,y,s))ds\\ =\int\limits_{s_0}^t \int\limits_0^\infty \lambda^i e^{-\lambda(t-s)}dE_{\lambda}(F(x,y,s))ds\\ + \int\limits_0^{s_0}\int\limits_0^\infty \lambda^i e^{-\lambda(t-s)} dE_{\lambda}(F(x,y,s))ds\\ =\int\limits_{s_0}^t\int\limits_0^\infty \lambda^i e^{-\lambda(t-s)}dE_{\lambda}(F(x,y,s))ds+\int\limits_0^{s_0}O(s^N)ds. }$
this is because ${F(x,y,s) =O(s^N)}$ ,when ${s \rightarrow 0}$ ,so ${H(x,y,t) \in \Phi(\Delta^i)}$ ,so ${H(x,y,t) \in C^\infty(M \times M \times R^+)}$ .because:
$\displaystyle |e^{-\Delta(t-s)} \circ_x P(x,y,s)| = O(s^N).$

so ${H(x,y,t)}$ and ${P(x,y,t)}$ have the same expansion .because ${H(x,y,t) = \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0} e^{-\Delta t} P(x,y,\epsilon)}$ so ${\forall f(y)\in C_0^\infty(M)}$ ,we have:
$\displaystyle \int H(x,y,t)f(y)dy=\lim\limits{\epsilon \rightarrow 0} \int\limits_M e^{-\Delta t} P(x,y,\epsilon)f(y)dy\\ =e^{-\Delta t}\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0} \int \limits_M P(x,y,\epsilon)f(y)dy\\ =e^{-\Delta t}f(x).$

the equality arrive is because of the prop of ${P(x,y,t)}$ .
on the other hand ,by the definition of ${H(x,y,t)}$ ,we can check:
when ${y}$ is fix and ${t>0}$ , ${H(x,y,t) \in L^2(M)}$ , so
$\displaystyle e^{-\Delta t} f(x) = \int H(x,y,t)f(y) , \ \forall f\in L^2(M)........................................(\star\star).$

we call ${H(x,y,t)}$ is the kernel of ${e^{-\Delta t}}$ .

for prop (1), ${H(x,y,t)=H(y,x,t)}$ is from the operator ${\Delta}$ is self-adjoint,prop (2) is just ${(\star\star)}$ .

now we proof prop (3),by definition:
$\displaystyle H(x,y,t)=\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0} e^{-\Delta t-\epsilon} P(x,y,\epsilon), \ \forall \epsilon >0.$

and we know ${ (\Delta_x - \frac{\partial}{\partial t})(e^{-\Delta t} P(x,y,t)) =0}$ so ${ (\Delta_x -\frac{\partial}{\partial t})H(x,y,t) = 0}$ .
proof prop (4),by ${e^{-\Delta s}e^{-\Delta(t-s)} = e^{-\Delta t}}$ and ${(\star\star)}$ wo know:
$\displaystyle H(x,y,t) = \int\limits_M H(x,z,t-s)H(z,y,s)dz..$

QED.
rmk: for the manifold with bounded,we can also proof the existence of heat kernel with Dirchlet or Neumann boundary condition.(L.Chavel. Eigenvalues in Riemannian Geometry,Academic Press,1984)
2.3. quasi fundamental solution of heat equation

it is well known that for ${R^n}$ , the fundamental solution of heat equation ${(\Delta - \frac{\partial}{\partial t})u=0}$ is ${ exp(-\frac{r^2}{4t})/(4\pi t)^{n/2}}$ .
for general Riemann manifold ${M}$ ,we want to find the fundamental solution of heat equation with this form:

$\displaystyle U(x,y,t) \sim (4 \pi t)^{-\frac{n}{2}} e^{\frac{-d(x,y)^2}{4t} }{\sum\limits_{i \geq 0} \phi_i(x,y) t^i}.$

where ${d(x,y)}$ is the Riemann distance of two point of M. take the normal coordinate around point ${x}$ , ${ y^i(i= 1,2,....,n),r=d(x,y)}$ .(the length of geodesic connect ${x,y}$ ).
it is well known that there exist functions ${\psi(r) , \phi(r)}$ only depend on ${r}$ :
$\displaystyle \Delta \psi = \frac{d^2 \psi}{dr^2} + (\frac{d \ log(\sqrt g)}{dr})\frac{d \psi}{dr}.$

$\displaystyle \Delta( \phi \psi) = \phi \Delta \psi +\psi \Delta \phi +2 \frac{d \phi}{dr}\frac{d \psi}{dr}.$

take:
$\displaystyle \psi =(4 \pi t) ^{-\frac{n}{2}} e^{-\frac{r^2}{4t}}$

$\displaystyle \phi = \phi_0+\phi_1 t+...+\phi_N t^N,$

and
$\displaystyle u_N =\psi \phi =(4 \pi t) ^{-\frac{n}{2}} e^{-\frac{r^2}{4t}} \sum\limits_{i=0 ... N} \phi_i t^i.$

then
$\displaystyle (\Delta - \frac{\partial}{\partial t}) u_N= \phi(\Delta \psi -\frac{\partial}{\partial t} \psi)+\psi(\Delta \phi -\frac{\partial}{\partial t}\phi)+2\frac{d\phi}{dr}\frac{d \psi}{dr}.$

because of
$\displaystyle \Delta \psi - \frac{\partial}{\partial t}\psi =\frac{d\ log\sqrt{g}}{dr}\frac{d \psi}{dr},$

$\displaystyle \frac{d \psi}{dr}=-\frac{r}{2t}\psi.$

we know:
$\displaystyle (\Delta -\frac{\partial}{\partial t})u_N = \frac{\psi}{t}\sum\limits_{k = 0 ... N} [ \Delta \phi_{k-1} -(k+\frac{r}{2}\frac{d \ log\sqrt{g}}{dr})\phi_k -r\frac{d \phi_k}{dr}]t^k ,$

problem become to solve the equations:
$\displaystyle r\frac{d\phi_k}{dr} =(k+\frac{r}{2}\frac{d\ log\sqrt{g}}{dr})\phi_k =\Delta \phi_{k-1} , k=0,1...N.$

which is equivalent to:
$\displaystyle \frac{d}{dr}(r^k g^{\frac{1}{4}}\phi_k)=r^kg{\frac{1}{4}}\Delta\phi_{k-1},k\geq 1.$

$\displaystyle \frac{d \phi_0}{dr}+\frac{d \ log\sqrt{g}}{\partial dr}\phi_0=0 (take\ \ \phi_{-1} =0).$

solve it:
$\displaystyle \phi_0= g^{\frac{1}{4}}$

$\displaystyle \phi_k(x,y) =g^{\frac{1}{4}} r^{-k} \int\limits_0^{r(x,y)} r^{k-1}(\Delta \phi_{k-1})g^{\frac{1}{4}}dr.$

so ${\phi_k \in C^\infty(M),\forall k \in N}$ . and:
$\displaystyle (\Delta - \frac{\partial}{\partial t})u_N=(4 \pi t)^{- \frac{n}{2}} e^{-\frac{r^2}{4t}} \Delta \phi_N t^N.$

take the cut function ${ \theta \in C_0^\infty}$ , ${s.t}$ :
$\displaystyle \theta(r)=1, when |r| \le \frac{1}{2}.$

$\displaystyle \theta(r)=0, when |r| \geq 1 .$

take:
$\displaystyle P_N(x,y,t) =\theta (r(x,y)) u_N(x,y,t),$

of course:
$\displaystyle Pn(x,y,t) \in C^\infty(M \times M \times R^+),and \ \\\ \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0} P(x,y,\epsilon) = \delta_x(y), (\Delta - \frac{\partial}{\partial t})P_N = O(t^N),$

this is to say:
${P_N(x,y,t)}$ is the quasi fundamental solution of heat equation. from the equation:
$\displaystyle (\Delta - \frac{\partial}{\partial t})u =G,$

$\displaystyle u|_{t=0} = 0,$

we know if ${G}$ has suffise high zero ,then so is the solution of heat equation,so ${P_n(x,y,t)}$ can approximate heat equation to any order.
2.4. basic proposition of heat kernel

${Lemma 4.1}$ :

$\displaystyle H(x,y,t) >0 , \ \forall \ t > 0.$

proof strategy : begin with expansion of heat kernel and integral on a geodesic sphere and take the radius ${r \rightarrow 0}$ ,use the stokes formula and maximal value principle to proof ${H(x,y,t)}$ is always positive.

${Lemma 4.2}$ : assume ${M}$ is a constant curvature complete riemann manifold (space form),then ${H(x,y,t)}$ only depends on ${r=d(x,y)}$ ,and ${\frac{\partial H(r,t)}{\partial r} <0}$ . proof is similar to ${Lemma 4.1}$ .

${Thm 4.1}$ (heat kernel comparision theorem,Cheeger-Yau).:
assume ${M}$ is a complete riemann manifold , ${Ric \geq (n-1)k}$ , ${ \forall x \in M,r_0 >0}$ , heat kernel of ${ B(x,r_0), H(x,y,t)}$ and heat kernel ${\varepsilon(r(x,y),t)}$ of geodesic ball ${V(k,r_0)}$ in space form satisfied:
$\displaystyle \varepsilon(r(x,y),t) \leq H(x,y,t).$

(bounded condition is Derichlet condition or Neumann condition).
proof strategy: basically we use the formula ${\frac{1}{2}\Delta(|\bigtriangledown u|^2)=\sum\limits_{i , j} u_{ij}^2+\sum\limits_i u_i(\Delta u)_i+Ric (\bigtriangledown u,\bigtriangledown u)}$ .and the two lemma. ${Thm 4.2}$ : assume ${M}$ is a compact reimann manifold , ${f_i}$ is a orthonormal basis of special function on ${M}$ , ${ \lambda_i}$ is the corresponding spectrum,then the fundamental solution (heat kernel) has the expansion:
$\displaystyle H(x,y,t)= \sum e^{-\lambda_i t} f_i(x)f_i(y)$

in particular,
$\displaystyle \sum e^{-\lambda_i t} =\int\limits_M H(x,y,t)dx,$

when ${ t \rightarrow +0}$ ,
$\displaystyle H(x,y,t) \sim (4 \pi t)^{\frac{n}{2}}e^{\frac{d^2(x,y)}{4t}}\sum\limits_{i \geq 0} \phi_i(x,y) t^i .$

rmk:this thm is well known.

补充说明

以下是新整理的中文说明；上方旧博客原文保持不变。

Atiyah-Singer 指标定理把一个分析对象的 Fredholm index 与流形上的拓扑特征类联系起来。热核证明的美妙之处在于：同一个量 $\operatorname{Str}(e^{-tD^2})$ 在 $t\to\infty$ 时看见 kernel，在 $t\to0$ 时看见局部曲率。

热核证明中，同一个 supertrace 在大时间看到 kernel，在小时间看到局部曲率。

1. Dirac bundle 与 Dirac operator

设 $M$ 是紧 Riemannian manifold，$E=E^+\oplus E^-$ 是 $\mathbb Z_2$-graded Clifford module。Dirac operator 写成

$$D:C^\infty(E^+)\to C^\infty(E^-).$$

它的 index 是

$$\operatorname{ind}D=\dim\ker D^+-\dim\ker D^-.$$

这个数在连续扰动下不变，所以天然应该由拓扑量表达。

2. Chern-Weil 背景

给定连接 $\nabla$ 和曲率 $F_\nabla$，Chern-Weil 理论告诉我们，形如

$$\operatorname{tr}\exp\left(\frac{i}{2\pi}F_\nabla\right)$$

的闭形式代表 Chern character。改变连接只会改变 exact form，因此上同调类只依赖 bundle 的拓扑。

Dirac 指标公式中的局部密度由 $\widehat A(M)$ 和 twisting bundle 的 Chern character 组成。

3. Supertrace

在 graded bundle 上，supertrace 定义为

$$\operatorname{Str}(A)=\operatorname{Tr}(A|_{E^+})-\operatorname{Tr}(A|_{E^-}).$$

热核证明的核心量是

$$\operatorname{Str}(e^{-tD^2}).$$

McKean-Singer 公式说它与 $t$ 无关，并且等于 $\operatorname{ind}D$。

4. 热半群与自伴算子

在完备 Riemannian manifold 上，合适的 Laplace 型算子可以取自伴扩张。谱定理给出热半群

$$e^{-tD^2}=\int e^{-t\lambda}\,dE_\lambda.$$

当 $t$ 很大时，正特征值贡献指数衰减，只剩零特征空间；于是 supertrace 给出 index。当 $t$ 很小时，热核有局部渐近展开，曲率项浮现出来。

5. 这条证明的路线

热核证明要完成两件事：第一，证明 supertrace 不依赖 $t$；第二，计算 $t\to0$ 的局部极限。前者是谱理论和 graded commutator 的结果；后者是 heat kernel asymptotics 和 Clifford algebra 的局部计算。二者合在一起，就把分析 index 变成了积分公式。

2017年9月25日
Laplace 特征函数的 nodal set：Dong identity 与 Hausdorff measure 下界

旧博客原文

原题：Hausdorff Dimension Of Nodal Set

Basic setting:
Let $(M,g)$ be a compact $C^\infty$ Riemannian manifold of dimension $n$ , let $\phi_{\lambda}$ be an $L^2$ – normalized eigenfunction of the Laplacian:

$\Delta \phi_{\lambda} = −\lambda^2 \phi_{\lambda}\$ and let:$ latex N \phi_{\lambda} =\{x:\phi_{\lambda}(x)=0\}$
be its nodal hypersurface. Let $H^{n−1}(N\phi_{\lambda} )$ denote its $(n-1)$ -dimensional Riemannian hypersurface measure. In this note we prove:
Theorem:

for and $C^\infty$ metric $g$ ,there exists a constant $C_g > 0$ so that:
$H^{n-1}(N_{\phi_{\lambda}}) \leq C_g \lambda^{n}$

A crucial identity:
proof of theorem 1 is based on following identity:
theorem:
for any smooth Riemannn manifold $M$ ,we have,
$\lambda^2\int_{M}|\phi_{\lambda}|dV = 2\int_{N_{\phi_{\lambda}}} |\nabla\phi_{\lambda}|dS$
moreover, $\forall f \in C^2(M)$ ,
$\int_M(\Delta+\lambda^2)f \vert\phi_{\lambda}\vert dV=2\int_{N_{\phi_{\lambda}}} \vert\nabla\phi_{\lambda}\vert dS$

Proof:
observed we have that,
$M=N_{\phi_{\lambda}}^+ \cup N_{\phi_{\lambda}} \cup N_{\phi_{\lambda}}^$
on $N_{\phi_{\lambda}}^+$ ,use divergence theorem:
\begin{eqnarray*}
\int_M(\Delta+\lambda^2)f \phi_{\lambda} dV&=&\int_M(\Delta+\lambda^2)\phi_{\lambda}f dV+\int_{\partial M} -g(\upsilon,\phi_{\lambda}\nabla f)dS+\int_{\partial M} g(\upsilon,f\nabla\phi_{\lambda})dS\\
&=&\int_{\partial M} g(\upsilon,f\nabla\phi_{\lambda}) \\
&=&\int_{\partial M} f\phi_{\lambda}dS
\end{eqnarray*}
the same identity is true on $N_{\phi_{\lambda}}^-$
so we have:
$\int_M(\Delta+\lambda^2)f \vert\phi_{\lambda}\vert dV=2\int_{N_{\phi_{\lambda}}} \vert\nabla\phi_{\lambda}\vert dS$

Estimate hausdorff measure of nodal sets:
take $f=1$ in theorem 2,we have:
$\lambda^2\int_M\vert\phi_{\lambda}\vert dV=2\int_{N_{\phi_{\lambda}}} \vert\nabla\phi_{\lambda}\vert dS$
so to get estimate hausdorff measure of nodal sets,we need to estimate:
$||\phi_{\lambda}||_1$ ,$||\nabla\phi_{\lambda}||_{\infty}$ ,this two guys are easy to get good estumate….and we will get a lower bound estimate of measure of nodal set:
$H^{n-1}(N_{\phi_{\lambda}}) \geq \frac{\lambda^2||\phi_{\lambda}||_1}{2||\nabla\phi_{\lambda}||_{\infty}}$

Estimate:
$||\phi_{\lambda}||_1$ , $||\nabla\phi_{\lambda}||_{\infty}$
$||\phi_{\lambda}||_1$ :

normalized $L_2$ norm of $\phi_{\lambda}$

$||\nabla\phi_{\lambda}||_{\infty}$ :
we have a yau types gradients estimate

Estimate upper bound of measure:
to get upper bound estimate,from identity we need to estimate: $||\phi_{\lambda}||_1$ , $||\nabla\phi_{\lambda}||_{\infty}$ ,and we will get:
$H^{n-1}(N_{\phi_{\lambda}}) \leq \frac{\lambda^2||\phi_{\lambda}||_1}{2\int_{N_{\phi_{\lambda}}} |\nabla\phi_{\lambda}|dS}$

补充说明

以下是新整理的中文说明；上方旧博客原文保持不变。

Laplace 特征函数的 nodal set 是

$$N_\lambda=\{x:\phi_\lambda(x)=0\}.$$

它的大小反映了 eigenfunction 的振荡。Yau 猜想预言在光滑紧流形上，nodal hypersurface 的测度与 $\lambda$ 同阶。

Laplace 特征函数的 nodal set 测度可通过 Dong identity 与梯度估计联系起来。

1. 基本设定

设

$$-\Delta\phi_\lambda=\lambda^2\phi_\lambda,\qquad \|\phi_\lambda\|_2=1.$$

nodal set 通常是一个维数 $n-1$ 的几何对象，但可能带有奇异点。

2. Dong identity

一个关键恒等式是：对光滑函数 $f$，

$$\int_M(\Delta+\lambda^2)f\,|\phi_\lambda|\,dV
=2\int_{N_\lambda} f|\nabla\phi_\lambda|\,dS.$$

它把 nodal set 上的积分转成整个流形上的积分。

3. 下界策略

取 $f=1$，得到

$$\lambda^2\int_M|\phi_\lambda|\,dV
=2\int_{N_\lambda}|\nabla\phi_\lambda|\,dS.$$

于是

$$\mathcal H^{n-1}(N_\lambda)\gtrsim
\frac{\lambda^2\|\phi_\lambda\|_1}{\|\nabla\phi_\lambda\|_\infty}.$$

4. 需要的两个估计

要得到 nodal measure 下界，需要控制 $\|\phi_\lambda\|_1$ 的下界和 $\|\nabla\phi_\lambda\|_\infty$ 的上界。后者来自 elliptic estimates 或 spectral cluster estimates。

5. 几何意义

nodal set 是 eigenfunction 改变符号的地方。特征值越大，振荡越快，nodal set 应该越大。Dong identity 精确表达了这种振荡与零集几何之间的关系。

2017年9月25日
动力系统笔记（一）：transitivity, minimality 与 Birkhoff 回复

旧博客原文

原题：动力系统笔记

\section{基本性质，例子}
\subsection{例子和基本性质}
在这一章的第一节引入了我们的研究对象，一般是一个紧的度量空间$X$装备上了一个同胚
$T:X\longrightarrow X$
介绍了三个简单例子，包括 $S_1$ 上的加倍映射，旋转映射以及 $X_k=\Pi_{n\in Z}\{1,2,...,k\}$ 上的平移映射。
加倍映射会出现在微分流形中一些函数 $f$ 的singular point，也就是 $hess f=0$ 的地方附近的环绕数计算，还有一些scalling变换或者是一些多尺度的问题里。\\
旋转映射会和旋转数是有理数还是无理数有关,相关的wely准则告诉我们如果是无理数的话会是每个点的轨道均匀分布的，稠密性在动力系统里面说就是这个动力系统是minimal的。相关的问题有sarnack猜想在Torus上的特殊情形，目前半解析的$T^2$情形已经解决，这是最近的工作，后续很多工作在进行，本质困难来自解析数论。\\
平移映射我不是很懂，第二章中讲的Van der warden定理的证明是一个好例子，动力系统中的回复定理主要是用来刻画这些动力系统内蕴的算术性质的，basic ideal是如下事实：\\
将一个大的集合分类，同一类有序的出现的存在性。

\subsection{Transitivity}
这个性质是指一个动力系统中存在轨道在动力系统中稠密。\\
动力系统往往具有transitivity的性质，加倍映射的例子用二进制分解构造，平移映射构造transitivity point的方法与之雷同，旋转映射情形这是初等的。\\
transitivity会有很多等价的刻画，包括四种：

\begin{thm}(transitivity的等价定义)\\
1.transitivity\\
2. $U$ open, $TU=U \Longrightarrow U=\emptyset$ 或者 $U$ 是一个稠密集\\
3. $U,V$ 开集, $\exists N\in N^*$ , $T^n U \cap V\neq \emptyset$ \\
4. $\{x\in X|\{T^nx\}_{n\in Z}dense\}$ 是一个 $G_{\delta}$ 集合
\end{thm}
证明都是标准的，提两个关键点，第一点是注意到 $\cup_{n\in Z}T^n U$ 这个集合是$T$不变的，第二点是注意到transitive point可以通过选取一组开集集进行描述从而有集合等式：
$\{x\in X|\{T^nx\}_{n\in Z}dense\}=\cap_{n\in N^*}\cap_{k\in N^*}\cup_{m\in Z} T^mB_{\frac{1}{k}}(x_n)$
\subsection{一个和矩阵有关的例子}
定义了一个和矩阵有关的动力系统，并且说明了这个动力系统是transitive的当且仅当底层的矩阵是不可约的，对于矩阵不可约这个概念不熟所以这个例子没有仔细看。
\subsection{minimality和Birkhoff回复定理}
我认为这部分内容是Pollicott书第一章最有趣的部分。\\
minimality定义是动力系统 $T:X\rightarrow X$ 所有的点都是transitivity point。\\
也有三个等价定义，其他两个是：\\
$T$ 不变集只有 $X$ 和空集\\
任何开集通过T作用生成的集合是全空间\\

可以看出来这三个定义都是transitivity情形对应定义的加强版。这些证明也是标准的，接下来一个定理表明 $X$ 这个空间可以在 $T$ 不变的意义下分解成很多小的空间，每个都是不能再分解的，这个定理的证明的两个关键点是：
1.zorn lemma，2.minimal性质的第二点\\

那么马上我们就可以得到minimality的定理系统满足birkhoff回复定理：\\
$\exists x\in X,\exists \{n_i\},\lim_{i\to \infty}T^{n_i}x=x$
Birkhoff回复定理在高维情形也会很有趣，我们这时就需要多个可交换的动力系统（为什么一定要可交换？一种解释是可交换大幅降低复杂度）一旦这些动力系统被证明是minimal的，我们用类似的路线建立起以上定理是没有本质困难的。\\
步骤一：建立起transitive的相关定理\\
步骤二：建立起minimal的相关定理\\
步骤三：说明 $T^i$ 不变的集合满足zorn lemma，所以有最小元\\
整个过程在乘积空间中进行
\newpage

\section{Birkhoff回复定理蕴含Van Der Warden定理}
\subsection{Van Der Warden定理与它的动力系统解释}
这是一个组合定理，原始证明是很trick的，单遵老先生有一个证明，很trick，高中的时候尝试过证明，自己证了一个星期证明不出来就看掉了，现在回想起来应该跟当时的工具太原始了有关系。我想强调的是并不是数学思想的飞跃，而是数学工具的升级使得这个问题变简单了。\\

原始问题是将 $N^*$ 分成若干个类，一定存在一个类存在任意长等差数列。\\

怎么转化成一个组合问题呢，其实用第一章中的 $X_k$ 装备上平移这个同胚构成的动力系统就够了，等差数列的存在性等价于若干个可以交换的映射，其实就是平移的步长不一样下的都回到原始值附近，这是birkhoff回复定理能够告诉我们的。\\

关于细节的建立
第一步是简单的，问题出在第二步，也就是证明整个动力系统是minimal的这一步上，我们知道这个动力系统是初始状态通过平移生成再取闭包得到的，所以天然是transitivity的，如果是minimality的，那么就可以用birkhoff定理得到结果了。这其实不难，因为这个距离空间是non-archimeadian的，用初始状态的平移去逼近就好了。\\

上面这一段划去，实际上要想真正建立一个动力系统本身是minimal的性质，本质上需要比连续性更强的某种正则性，比如一个lipchitz连续性的动力系统就是minimal的。但是仅仅找到一个紧集是minimal的时简单是事情，用minimal等价定义第二条加zorn引理就可以做到。好了现在我们有了一个minimal的动力系统，我们只需要建立多重birkhoff回复定理就完成了证明。\\

在思考多重birkhoff回复定理的过程中我发现了几种方式来构建整个框架，pollicott上标准的证明是利用乘积空间的对角线作为低空间加上归纳法，我尝试过将对角线作为低空间证明但是失败了，主要原因是对角线在乘积空间中是低维子集我不知道怎么将合适映射限制到这个空间上，事实也证明做归纳法的话我们可以转而对映射而不是空间做文章而规避这个困难。\\

但是在这个过程中我发现了另外一个有意思的现象，就是我们可以归纳的构造出一个集合，至少有限步的构造在逻辑上式对的，利用算子 $T^i$ 之间的交换性得到一个很好地X的子空间， $T^i$ 在上面的作用也有很好的性质，但是还不够好。具体的说，是一种纤维结构的空间， $T^1$ 在底空间上作用是transitive的， $T^2$ 在第一层纤维上的作用是transitive的，依次类推。由于交换性可以导致在每一个section上 $T^i$ 的作用都是trsnsitive的。但是不好的地方在于每个 $T^i$ 想要在全空间中transitive都必须借助别的 $T^i$ ，换而言之每个 $T^i$ 都只管一层。所以这并不是我们想要的空间。\\

这样构造出来的空间在这里可能没有用，但是这个空间本身具备很好的性质，而就算我们知道多重回复定理这样的空间也是构造不出来的，注意我们并不是因为构造了一个 $T^i$ 在上面”一致的”transitivity的空间而把回复定理证明出来了，而是用了一些更弱的argument达到目的。这个空间可能在计算全空间上某些可交换的映射的特征时有用，尤其在可以证明这个空间和全空间只差一个零测集的情况下。\\

猜想：存在一个 $T^i:X\longrightarrow X$ ,$T^iT^j=T^jT^i$，并不存在满足某种”一致”minimal的子空间。但是我们知道多重回复定理是对的。\\

总之用归纳的方法加上一些拓扑的标准的方法我们可以得到多重回复定理从而完成证明。
\newpage

\section{拓扑熵}
拓扑熵的定义可复杂了，拓扑熵是一个描述拓扑动力系统复杂程度的量。顺序是先引入标准定义和基本性质，然后给出一个计算方法，再然后引入spanning set和separeting set，利用这两种集合引入等价的定义方法，再证明amernov定理： $h(T^m)=mh(T)$ ,最后证明动力系统之间的半共轭会导致熵之间的不等式。

\newpage
$f(x),g(x)\in C_{c}^{\infty}(R^n)$
\[f*g(x)=\int_{R^n}f(\xi)g(x-\xi)d\xi \]
\[x=(x_1,x_2,…,x_n)\in R^n\]
\[g(x)=\frac{1}{x_1^2+x_2^2…+x_n^2+1}\]
\[f*g(x)=\int_{R^n}f(\xi)g(x-\xi)d\xi\sim\sum_{k_1=-\infty}^{\infty}…\sum_{k_n=-\infty}^{\infty}\frac{f(x_1-k_1,x_2-k_2,…,x_n-k_n)}{k_1^2+k_2^2+…+k_n^2+1} \]
\[\sum_{k_1=-\infty}^{\infty}…\sum_{k_n=-\infty}^{\infty}\frac{f(x_1-k_1,x_2-k_2,…,x_n-k_n)}{k_1^2+k_2^2+…+k_n^2+1}=\sum_{\xi\in Z^n}f(x-\xi)g(\xi)=\int_{\xi\in R^n}f(x-\xi)\delta g(\xi) d\xi\]\\
(Young inequality)
$f\in L_1(R^n)$,$g\in L^p(R^n)$:
\[ ||f*g||_{p}\leq ||f||_1||g||_{p} \]

(hardy-litterwood-soblev inequality)
$p,r>1$,$0<\lambda<n$,$\frac{1}{p}+\frac{\lambda}{n}+\frac{1}{r}=2$,$f\in L^p(R^n),h\in L^r(R^n)$.exists a constant C,$C\sim n,\lambda,p$.
\[|\int_{R^n}\int_{R^n} f(x)|x-y|^{\lambda}g(y)dxdy|\leq C(n,\lambda,p)||f||_p||h||_r\]

\section{热核正则性}
$t \to 0^+$ 情况的技巧
gap太多了，主要集中在两条，第一条是需要研究billiard上热核的正则性，这需要建立大量的耗散性先验估计。连续是显然的，我目前连C1都证明不出来，因为其中需要处理一个级数和。如果这一条对了，那么我们集中看t趋于0正时的热核。

\section{Caldron Zygmund算子的谱}
我们需要刻画Caldron Zygmund算子作用在某个区域上之后产生的谱会携带多少区域的形状的信息。通过在热核中令 $t\longrightarrow 0$ 这个会化简为简单的情况，再加上凸性。
第二条是热核对t求任意次导以后是Caldero ́ n Zygmund算子，对这个算子卷积上一个具备 $C^1$ Boudary正则性的区域上特征函数的的谱我们有没有好的刻画，这其中能不能蕴含这个区域的几何信息。

补充说明

以下是新整理的中文说明；上方旧博客原文保持不变。

这一篇笔记想讲清楚一个很基础但是很重要的转换：很多组合问题，尤其是关于等差数列和回复现象的问题，可以放到一个紧的动力系统里面看。这样做以后，原来很硬的组合构造会变成轨道闭包、minimal set 和 Birkhoff 回复定理。

把一个有限染色编码成 shift space 中的一点，然后用 minimal 子系统和多重回复得到同色等差数列。

1. 基本例子：加倍映射、旋转和平移

一个拓扑动力系统可以写成 $(X,T)$，其中 $X$ 是紧度量空间，$T:X\to X$ 是连续映射；如果 $T$ 是同胚，那么可以向前也可以向后迭代。我们真正研究的是一条轨道

$$x,\;Tx,\;T^2x,\;\ldots.$$

最基本的例子有三个。

第一是圆周上的加倍映射

$$T(x)=2x\pmod 1.$$

这个例子带有扩张性。用二进制展开看，$T$ 只是把二进制小数点向右移动一位。因此只要选一个二进制展开中含有足够多有限字串的点，它的轨道就会在圆周上到处跑。这个例子是理解 symbolic dynamics 的入口。

第二是圆周旋转

$$R_\alpha(x)=x+\alpha\pmod 1.$$

如果 $\alpha$ 是有理数，那么所有轨道都是周期的；如果 $\alpha$ 是无理数，那么每条轨道都稠密，并且更强地，轨道是均匀分布的。这里最常用的判别工具是 Weyl criterion：判断均匀分布可以转化成检查所有非平凡 Fourier characters 的平均趋于零。

$$\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}e^{2\pi i k(x+n\alpha)}\to 0,\qquad k\ne0.$$

第三是环面平移

$$T_\omega x=x+\omega\pmod{\mathbb Z^d}.$$

当 $1,\omega_1,\ldots,\omega_d$ 在 $\mathbb Q$ 上线性无关时，轨道在 $\mathbb T^d$ 中稠密。这个例子和 Sarnak 猜想、nilsequence、Kronecker system 都有关。对于零熵系统，Sarnak 猜想说莫比乌斯函数应该和系统产生的观测序列正交；圆周旋转和环面平移是这类问题最早、最干净的模型。

2. Transitivity：存在一条稠密轨道

定义：如果存在 $x\in X$，使得

$$\overline{\{T^n x:n\ge0\}}=X,$$

那么称 $(X,T)$ 是 topologically transitive，这个 $x$ 叫 transitive point。

在紧度量空间且没有孤立点的常见情形下，可以用开集来刻画 transitivity：

$$\text{对任意非空开集 }U,V\subset X,\quad \exists n\ge0,\quad T^nU\cap V\ne\varnothing.$$

这个刻画很有用，因为它不需要显式构造那条稠密轨道，只需要说明任意两个局部区域之间存在一次迭代连接。

为什么加倍映射有 transitive point？因为二进制展开可以人为拼接所有有限 0-1 字串。这样构造出来的点，在 shift 意义下会依次出现任意有限模式，因此轨道稠密。这个想法之后会在 Van der Waerden 定理的证明里再次出现：有限组合结构被编码成一个无限序列，动力系统研究的是这个无限序列的 shift orbit closure。

3. Minimality：每一条轨道都稠密

transitivity 只要求存在一条稠密轨道。minimality 强得多：它要求每一点都是 transitive point。

定义：如果对所有 $x\in X$，都有

$$\overline{\{T^n x:n\ge0\}}=X,$$

那么称 $(X,T)$ 是 minimal。

它有两个非常重要的等价刻画：

第一，$X$ 没有非空真闭不变子集。也就是说，如果 $Y\subset X$ 闭且 $T(Y)\subset Y$，那么 $Y=\varnothing$ 或 $Y=X$。

第二，对任意非空开集 $U\subset X$，有

$$X=\bigcup_{n\ge0}T^{-n}U.$$

直观上，这表示每个点迟早都会进入 $U$。在紧性下还可以加强成有限覆盖：存在 $N$，使得

$$X=\bigcup_{n=0}^{N}T^{-n}U.$$

这就是 minimal system 中的 uniformly recurrent 现象。

Zorn lemma 在这里的作用是保证 minimal 子系统的存在。任意紧动力系统里，只要取一个非空闭不变集族，用包含关系作偏序，就可以用 Zorn 引理取到极小闭不变集。这个极小闭不变集上的动力系统就是 minimal 的。所以即使原系统不 minimal，我们也总能在轨道闭包里找到 minimal 子系统。

4. Birkhoff 回复定理

在拓扑动力系统里，一个基本的 Birkhoff 回复命题可以这样理解：

如果 $(X,T)$ 是紧动力系统，那么存在 recurrent point；如果系统是 minimal 的，那么每个点都是 recurrent 的。

这里 recurrent 的意思是，存在 $n_j\to\infty$，使

$$T^{n_j}x\to x.$$

对 minimal system 来说，这几乎是定义的直接后果：因为 $x$ 的轨道稠密，所以它必然反复进入 $x$ 的任意小邻域。

更有力量的是多重回复。若 $T_1,\ldots,T_k$ 是两两可交换的连续变换，在合适的 minimal 子系统上，可以找到同一个时间参数让多个方向同时回到某个开集附近。这里“可交换”是关键，否则不同方向的迭代顺序会产生额外复杂度。

5. Van der Waerden 定理的动力系统证明

Van der Waerden 定理说：把自然数染成有限多种颜色以后，必定存在任意长的同色等差数列。

动力系统证明的想法如下。给定一个染色

$$c:\mathbb N\to\{1,\ldots,r\},$$

把它看成一个无限序列

$$x=(c(0),c(1),c(2),\ldots)\in\{1,\ldots,r\}^{\mathbb N}.$$

在紧空间 $\{1,\ldots,r\}^{\mathbb N}$ 上考虑 shift map

$$\sigma(x_0,x_1,x_2,\ldots)=(x_1,x_2,\ldots).$$

取轨道闭包

$$Y=\overline{\{\sigma^n x:n\ge0\}}.$$

这个 $Y$ 是非空紧不变集。再从 $Y$ 中取一个 minimal 子系统 $M$。设 $y\in M$，并看 $y_0$ 这个坐标的颜色。令

$$U=\{z\in M:z_0=y_0\},$$

这是一个非空开集。多重回复告诉我们，对任意 $k$，存在 $d>0$ 和某个点 $z\in U$，使

$$z,\;\sigma^d z,\;\sigma^{2d}z,\ldots,\sigma^{(k-1)d}z\in U.$$

翻译回坐标，就是

$$z_0=z_d=z_{2d}=\cdots=z_{(k-1)d}=y_0.$$

因为 $z$ 属于原染色序列的轨道闭包，有限坐标模式可以被原来的序列 $x$ 近似出来，于是在原来的自然数染色中存在

$$a,\;a+d,\;a+2d,\ldots,a+(k-1)d$$

这些位置颜色相同。这就是 Van der Waerden 定理。

6. 这条路线真正说明了什么

这个证明没有给出最优界，也不是组合意义上最有效的证明。但它说明了一件非常深的事：有限组合结构可以来自无限紧空间里的回复。

原来要在自然数里找同色等差数列，现在变成了：

第一，把染色编码成 shift space 中的点；第二，取轨道闭包；第三，取 minimal 子系统；第四，用多重回复；第五，把有限模式拉回原来的染色。

这个过程是 Furstenberg 观点的雏形。它后来可以继续发展到 Szemerédi 定理、遍历 Ramsey 理论，以及 nilsystem 和高阶 Fourier 分析之间的联系。

所以这篇笔记真正想记录的是：动力系统不是给组合定理套一层语言，而是在解释为什么“局部有限模式”会被“全局回复结构”强迫出现。

2017年9月25日
Bourgain-Sarnak-Ziegler criterion：Mobius 正交性的有限检验

旧博客原文

原题：Bourgain-Sarnak-Ziegler Criterion

Bourgain-Sarnak-Ziegler定理可以视为Vingrodov均值定理的有限版本。

补充说明

以下是新整理的中文说明；上方旧博客原文保持不变。

Bourgain-Sarnak-Ziegler criterion 可以看成 Vinogradov 均值思想的有限版本：若一个有界序列在不同素数倍采样下彼此近似正交，那么它与 Mobius 函数也应当正交。

BSZ criterion 用不同素数倍采样的相关消失来推出 Mobius 正交性。

1. 判别法的形式

设 $a_n$ 是有界序列。若对不同素数 $p\ne q$，有

$$\sum_{n\le N}a_{pn}\overline{a_{qn}}=o(N)$$

并且这个估计对一批素数足够一致，那么可以推出

$$\sum_{n\le N}\mu(n)a_n=o(N).$$

2. 为什么素数倍相关重要

Mobius 函数的困难在于它携带素因子结构。BSZ criterion 的想法是：不直接分析 $\mu(n)$，而是检查序列 $a_n$ 对不同素数尺度是否产生相关。如果所有这些相关都小，Mobius 就没有可利用的结构与之耦合。

3. 与 Sarnak 猜想

在动力系统中，常取 $a_n=f(T^n x)$。于是 Mobius disjointness 变成

$$\frac1N\sum_{n\le N}\mu(n)f(T^n x)\to0.$$

BSZ 把这个问题转化为比较 $T^p$ 和 $T^q$ 产生的两个轨道序列。

4. 有限版本的意义

称它为 Vinogradov 均值定理的有限版本，是因为它同样通过“多重相关消失”来控制原始振荡和。它特别适合低复杂度系统，例如 nilsequence、skew product 或 substitution dynamics。

2017年9月25日
k-curvature 方程的 curvature measure 与可去奇点

旧博客原文

原题：k curvature方程的curvature测度和可去奇点的建立

旧站归档中的这篇正文原本为空。

补充说明

以下是新整理的中文说明；上方旧博客原文保持不变。

对 $k$-curvature 方程，一个自然问题是：若解在孤立点或小集合上奇异，是否可以通过曲率测度判断这个奇点可去？这和调和函数的容量理论非常相似，只是曲率方程是完全非线性的。

k-curvature 的可去奇点问题可以通过曲率测度是否在奇点集中携带质量来判断。

1. 曲率测度

若超曲面由图 $u$ 给出，主曲率为 $\kappa_1,\ldots,\kappa_n$，则 $k$-curvature 是

$$\sigma_k(\kappa)=\sum_{i_1<\cdots
对应的 curvature measure 可以理解为 $\sigma_k(\kappa)\,dA$ 的弱极限。即使 $u$ 不够光滑，这个测度仍可能有意义。

2. 可去奇点的判据

设 $u$ 在 $\Omega\setminus\{0\}$ 中满足方程。若奇点附近的曲率测度没有原子，或者其质量低于某个容量阈值，那么奇点往往可以去掉，$u$ 延拓为整个 $\Omega$ 上的弱解。

3. 容量思想

容量衡量一个集合对方程的影响。对 Laplace 方程，点在高维中可能容量为零；对 $k$-Hessian 或 $k$-curvature 方程，临界维数和 $k$ 有关。这决定了哪些奇异集合是“看不见”的。

4. 建立理论的路线

证明通常需要三步：先定义弱曲率测度；再证明光滑逼近下测度收敛；最后用比较原理和容量估计排除奇点处的额外质量。这样可去奇点问题就变成测度是否携带集中曲率。

2017年9月25日
Sarnak 猜想在 skew product 上的情形

旧博客原文

原题：Sarnak猜想在skew product上的情形。

Cylinder map:
Cylender map:这是一个动力系统 $\Theta=(T,T^2)$ , $T:T^2\longrightarrow T^2$ 满足：\\
$T(x)=x+\alpha,T(y)=cx+y+h(x)$
因此
$y_1(n)=T^{n}(x)=x+n\alpha,y_2(n)=T^n(y)=nx+\frac{n(n-1)}{2}\alpha+y+\sum_{n=1}^{N-1}h(x+i\alpha)$
来自动力系统 $\Theta$ 中的可观测量是指 $\xi(n)=f(T^n(x))$ ,其中 $x\in T^2$ ,$f\in C(T^2)$.
由于Cylender map是零熵的，这个情形下Sarnak猜想成立等价于:
$S(N)=\sum_{n=1}^N\mu(n)\xi(n)=\sum{n=1}^N \mu(n)f(T^nx)$
满足 $S(N)=o(N)$ ,由于 $f_{\lambda_1\lambda_2}=e^{2\pi i(\lambda_1 x+\lambda_2 y)}$ 是 $C(T^2)$ 的一组基，只需对 $f_{\lambda_1\lambda_2}$ 证明 $S(N)=o(N)$ \\
展开 $S(N)$ ,我们有\\
$S(N)=\sum_{n=1}^N\mu(n)\xi(n)=\sum_{n=1}^N \mu(n)f(T^nx)$ \\

$=\sum_{n=1}^N\mu(n)e^{2\pi ik(\lambda_1(x+n\alpha)+\lambda_2(nx+\frac{n(n-1)}{2}+y\sum_{i=1}^{n-1}h(x+i\alpha)))}$ \\

$=\sum_{n=1}^N\mu(n)e^{2\pi i(\phi(n)+\sum_{i=1}^{n-1}h(x+i\alpha))}$ \\

$=\sum_{n=1}^N\mu(n)e^{2\pi i(\phi(n)+\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{m\in Z}\hat h(m)e^{2\pi im(x+i\alpha)})}$ \\

$=\sum_{n=1}^N\mu(n)e^{\phi(n)+\sum_{m\in Z}e(mx)\hat H(m)\frac{e(nm\alpha)-1}{e(m\alpha)-1}}$ \\
其中我们暂时假定h是解析的，实际上我们要求对h的fourior级数有下界控制，总的来说就是 $\exists \tau_1,\tau_2$ :
$e^{\tau_1 m}<<\hat h(m)<<e^{\tau_2 m}$

\begin{lemma}
$\forall A>0,\forall \phi(n)$ 为多项式函数,我们有指数和估计：
$|\sum_{n=1}^{N}\mu(n)e^{\phi(n)}|<<\frac{N}{(logN)^A}$
\end{lemma}

此引理来自解析数论指数和理论，那么 $\alpha \in Q$ 情形是引理的直接推论。接下来处理 $\alpha \in R-Q$ 情形，这种情形下，我们定义 $\alpha$ 的连分数展开为：
$\alpha=[q_1,q_2,q_3,....]$

\begin{lemma}
如果 $\alpha$ 的连分数展开有一致的上界，即存在 $C\in N^*$ , $\forall n\in N^*,1\leq q_n\leq C$ 那么：
$sup_{0\leq a<b\leq 1}|\sum_{k=0}^{N-1}\chi_{(a,b)}(\{k\alpha\})-N(b-a)|=O(log N)$

\end{lemma}

这个引理的证明由三部分组成，第一部分用一个初等的trick加上连分数表示得到一系列长度区间上的更好的估计，第二部分建立一个有效性估计，第三部分将任何区间拆分成第一种区间的并，并使得余项被有效性估计控制。

我们现在考察最后这个式子：
$S(N)=\sum_{n=1}^N\mu(n)e^{\phi(n)+\sum_{m\in Z}e(mx)\hat H(m)\frac{e(nm\alpha)-1}{e(m\alpha)-1}}$

我们对这个式子建立有效的估计，指的是能够证明:
$S(N)=\sum_{n=1}^N\mu(n)e^{\phi(n)+\sum_{m\in Z}e(mx)\hat H(m)\frac{e(nm\alpha)-1}{e(m\alpha)-1}}=o(N)$
那么我们接下来建立这个估计,这个估计主要由三部分组成，我们分成三节处理这三部分，最后一节是总结。\\
1.带密度的指数和估计。\\
2.cut-off估计。\\
3.一致性均匀估计。\\

\newpage
\section{带密度的指数和估计}
$S(N)=\sum_{n=1}^N\mu(n)e^{\phi(n)+\sum_{m\in Z}e(mx)\hat H(m)\frac{e(nm\alpha)-1}{e(m\alpha)-1}}=o(N)$
令： $A_n=\mu(n)e(\phi(n)),B_n=e(\sum_{m\in Z}e(mx)\hat H(m))$
经典的指数和估计是：
theorem：
$\forall A>0,\forall \phi(n)$ 为多项式函数,我们有指数和估计：
$|\sum_{n=1}^{N}\mu(n)e^{\phi(n)}|<<\frac{N}{(logN)^A}$

theorem：
对于 $P$ 是一个质数，对于 $P<<N_1<<N$ :\\定义 $\chi_{p}(n)=e^{\frac{2\pi in}{p}}=e_p(n)$ , 定义 $f:N^*\to Im(\chi_p)$ 满足:\\
对于任何长度为 $N_1$ 的一段区间$I$，对任意 $k\in \{0,1,...,p-1\}$ ,
$\sharp\{n\in I|f(n)=e_p(k)\}=\frac{N_1}{p}+O(1)$

$|\sum_{n=1}^{N}\mu(n)f(n)e^{\phi(n)}|<<_{C}\frac{N}{(logN)^A}$
其中 $C\sim P,A$ \\
$\mu$ 是Mobius函数

cut-off 估计
在式子 $S(N)=\sum_{n=1}^N\mu(n)e^{\phi(n)+\sum_{m\in Z}e(mx)\hat H(m)\frac{e(nm\alpha)-1}{e(m\alpha)-1}}=o(N)$
中，我们希望对 $m\in Z$ 和 $1\leq n \leq N$ 做cut off来简化问题。\\
后者是简单的，我们待定一个常数c，有:
$S(N)=\hat S(n)+\sum_{n=1}^{cN}\mu(n)e^{\phi(n)+\sum_{m\in Z}e(mx)\hat H(m)\frac{e(nm\alpha)-1}{e(m\alpha)-1}}=\hat S(n)+O(cN)$
c可以待定，之后取得任意小，所以这一部分误差不影响我们最后的结果。\\
对m做cut off会稍微复杂一些，根据Fourior分析我们知道:\\
1如果 $h\in C^{\omega}(T)$ ,则
$\hat h(m)=O(e^-\tau m)$ .
2.若 $h\in C^{d}(T)$ ，则根据分部积分公式 $\hat h(m)=O(m^{-d})$ .\\
接下来的结果可能可以用调和分析中的几乎正交性改进到更好的结果，但是至少我们有:\\
$e(\sum_{|m|>\delta}e(mx)\hat H(m)\frac{e(nm\alpha)-1}{e(m\alpha)-1})\sim \sum_{|m|>\delta}e(mx)\hat H(m)\frac{e(nm\alpha)-1}{e(m\alpha)-1}$
$=O(\sum_{|m|>\delta}m \cdot m^{-d})=O(\delta^{d-2})$
所以至少当 $d>2$ 时，我们可以找到 $\delta \to \infty$ 当$N\to \infty$，使得 $|m|>\delta$ 的部分可以被cut off.

连分数与Ostrowoski表示
我们知道任何一个(0,1)中的数都有连分数表示，并且这个表示是唯一的。
$\alpha=(q_1,q_2,....,q_n,...)$
此时我们定义正整数集 $N^*$ 关于 $\alpha$ 的Ostrowoski表示（wangzhiren 2）：
定义：
每一个正整数n可以唯一的表示为：
$n=\sum_{i=0}^{\infty}(\Pi_{j=0}^{i-1}q_j)r_i$
其中 $r_i \in [0,q_{i}-1]$

很明显上面表示中只有有限个 $r_i$ 不为0,为什么要利用Ostrowoski表示，关键在于Ostrowoski表示中的标架 $\{q_1...q_k\}$ 是最佳逼近下最好的标架。\\
实际上我们归纳定义 $\alpha-$ 标准长度 $\{l_k\}_{k=1}^{\infty}$ 如下：

$l_1=\alpha,l_{k+1}=1-[\frac{1}{l_k}]l_k$

容易知道 $l_{k+1}<l_{k}$ ,做一些微小的计算会发现第k个 $\alpha$ -标准长度和连分数展开的前k项系数乘积之间能够相互控制。
lemma:
$\forall k\in N^*$
$\frac{1}{2q_1...q_k}<l_k<\frac{1}{q_1....q_k}$

直接将 $\alpha$ 的连分数展开代入计算即可证明。 $\alpha$ -标准长度的关键性质是 $\{n\alpha\}$ 在这个区间中的均匀分布性的余项可以得到很好地控制。
lemma:
对任意 $k\in N^*$ ,对任意长度为 $l_k=(a,b)$ 的区间 $I_k\subset (0,1)$ , $\forall N\in N^*$ 我们有：
$\sum_{n=1}^N\chi_{(a,b)}(\{n\alpha\})=N(b-a)+O(1)$

证明是对k归纳，实际上k等于1的时候将 $f(n)=\{n\alpha\}$ 提升为 $g=n\alpha$ ,因为实轴上长度为 $\alpha$ 的区间中一定会包含一个 $\{g(1),...,g(n)\}$ 中的元素，有由于长度为 $n\alpha$ 的区间中有 $[n\alpha]$ 个整数，所以：
$\sum_{n=1}^N\chi_{(a,b)}(\{n\alpha\})=[N\alpha]=N(b-a)+O(1)$
归纳过渡也是简单的。

\section{一致性均匀估计}
最后我们要建立一致性均匀估计，将对
$S(N)=\sum_{n=1}^N\mu(n)e^{\phi(n)+\sum_{m\in Z}e(mx)\hat H(m)\frac{e(nm\alpha)-1}{e(m\alpha)-1}}$
进行多尺度分解，并且说明他和一个多重带密度的指数和的差是$o(N)$
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补充说明

以下是新整理的中文说明；上方旧博客原文保持不变。

这篇笔记讨论一个很典型的零熵动力系统：圆环或二维环面上的 skew product。Sarnak 猜想在这里会变成一个指数和问题。动力系统给出相位，莫比乌斯函数给出算术权重，最后要证明两者没有长期相关。

Skew product 的迭代把 Fourier character 转成带有旋转 Birkhoff sum 的指数和。

1. Skew product 的形式

考虑二维环面上的映射

$$T(x,y)=(x+\alpha,\;y+h(x))\pmod 1.$$

这里 $\alpha$ 是旋转数，$h$ 是足够光滑或解析的函数。若 $f\in C(\mathbb T^2)$，Sarnak 猜想要求

$$\frac1N\sum_{n\le N}\mu(n)f(T^n(x,y))\to0.$$

由于 trigonometric polynomials 在 $C(\mathbb T^2)$ 中稠密，可以先检验 Fourier characters $f(x,y)=e(mx+ny)$。

2. 相位展开

迭代 $T$ 得到

$$T^k(x,y)=\left(x+k\alpha,\;y+\sum_{j=0}^{k-1}h(x+j\alpha)\right).$$

所以相关和变成

$$\sum_{k\le N}\mu(k)e\left(m(x+k\alpha)+n y+n\sum_{j
问题的核心是控制这个由旋转 Birkhoff sum 产生的相位。若 $h$ 是多项式或 Fourier 支持很简单，相位可以化成多项式相位，经典解析数论的指数和估计可以直接进入。

3. 有界型旋转数

当 $\alpha$ 的连分数展开系数有一致上界时，旋转轨道具有较好的均匀分布余项。Ostrowski 表示把任意长度拆成由分母 $q_k$ 控制的标准块：

$$N=\sum_k b_k q_k.$$

这些标准块是处理旋转和的自然尺度。每一块上相位的波动可控，块与块之间再通过 cut-off 和 Fourier 展开拼接。

4. Cut-off 与 Fourier 级数

若 $h$ 解析，它的 Fourier 系数指数衰减；若只要求有限光滑性，则系数只有多项式衰减。把高频部分 cut off 后，误差由

$$\sum_{|r|>R}|\widehat h(r)|$$

控制。低频部分则给出有限多个可估的指数和。这里调和分析中的 almost orthogonality 可以改进一些粗糙估计，但最重要的是把问题压缩到有限频率。

5. 证明图像

整个论证可以理解成三层：先把 observables 化成 Fourier characters；再把 skew product 的迭代化成旋转和；最后用连分数分块、cut-off 和带密度的指数和估计控制莫比乌斯相关。这个模型清楚展示了 Sarnak 猜想在零熵系统中常见的结构：动力系统低复杂度负责给出可分解相位，解析数论负责证明乘法函数无法跟随这些相位。

2017年9月25日
随机矩阵与 zeta 函数的 moment 估计

旧博客原文

原题：随机矩阵与zeta函数的moment估计

旧站归档中的这篇正文原本为空。

补充说明

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Riemann zeta 函数在临界线上的矩估计是解析数论的中心问题之一。随机矩阵理论给出一个非常强的模型：$\zeta(1/2+it)$ 的局部统计像酉矩阵特征多项式在单位圆上的取值。

随机酉矩阵特征多项式为 zeta 函数临界线矩估计提供了主项指数和常数结构的模型。

1. zeta 矩

第 $2k$ 阶矩通常写成

$$M_k(T)=\int_0^T|\zeta(1/2+it)|^{2k}\,dt.$$

猜想主项形如

$$M_k(T)\sim C_k T(\log T)^{k^2}.$$

2. CUE 模型

取 $U\in U(N)$ 为 Haar 随机酉矩阵，考虑特征多项式

$$Z_U(\theta)=\det(I-e^{-i\theta}U).$$

Keating-Snaith 模型把 $N$ 与 $\log T$ 对应，并用 $\mathbb E|Z_U(\theta)|^{2k}$ 预测 zeta 矩中的 $k^2$ 指数。

3. 算术因子

随机矩阵只解释对称性和谱统计部分。zeta 函数还包含 Euler product，因此常数 $C_k$ 应分解成随机矩阵因子和算术 Euler product 因子。

4. 为什么这个模型有效

零点统计、特征多项式矩和 logarithmic correlation 都显示出同一类结构。随机矩阵不是证明本身，但它给出正确主项、正确指数和很多低阶项的预测，是组织 zeta 矩问题的有效语言。

2017年9月25日
Schrodinger 方程的衰减性估计：dispersive estimate 与 Strichartz

旧博客原文

原题：关于shordinger方程的衰减性估计

旧站归档中的这篇正文原本为空。

补充说明

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自由 Schrodinger 方程

$$i\partial_tu+\Delta u=0,\qquad u(0)=u_0$$

的解为 $u(t)=e^{it\Delta}u_0$。衰减估计描述的是：初始波包随着时间扩散，点态振幅下降。

Schrodinger 衰减估计来自自由传播核的二次振荡，进一步导出 Strichartz estimates。

1. 核函数公式

在 $\mathbb R^d$ 上，传播算子有显式核

$$e^{it\Delta}u_0(x)=\frac1{(4\pi it)^{d/2}}\int_{\mathbb R^d}e^{i|x-y|^2/(4t)}u_0(y)\,dy.$$

直接取绝对值得到 dispersive estimate：

$$\|e^{it\Delta}u_0\|_{L^\infty}\le C|t|^{-d/2}\|u_0\|_{L^1}.$$

2. 衰减来自振荡

核的大小给出 $|t|^{-d/2}$，本质上是相位 $|x-y|^2/(4t)$ 的非退化二次振荡。高维中波包扩散到更大的空间体积，所以衰减更快。

3. Strichartz 估计

把 dispersive estimate 与 $L^2$ 守恒结合，通过 $TT^*$ 方法可以得到 Strichartz estimates：

$$\|u\|_{L_t^qL_x^r}\le C\|u_0\|_{L^2},$$

其中 $(q,r)$ 满足 Schrodinger admissible 条件。

4. 非线性方程中的作用

对非线性 Schrodinger 方程，衰减估计控制 Duhamel 项，使局部适定性、散射、小数据全局解等问题可以在函数空间中闭合。

2017年9月25日
与调和函数正交的函数是否一定为零？从多项式密度到分布版本

旧博客原文

原题：与调和函数正交的函数是否一定是0

这是来自mathoverflow的一个问题：

原始的问题是简单的，陈述如下：

问题1： $f\in C_{c}^{\infty}(B)$ ，且满足对任意满足： $\exists n\in N^*$ , $\Delta^n g=0$ 的函数 $g$ ,有 $\int_{B}fg=0$ ,那么 $f=0$ 。

证明只需注意到所有多项式都满足条件以及weierstrass逼近定理。

人们自然想到将算子 $\Delta$ 推广到算子 $\Delta_f=f\Delta$ ，这将导致如下问题。

问题2 $f\in C_{c}^{\infty}(B)$ ，且满足对任意满足： $\exists n\in N^*$ , $(\Delta_f)^n g=0$ 的函数 $g$ ,有 $\int_{B}fg=0$ ,那么 $f=0$ 。

问题1在分布意义下是这样的：

问题3： $T$ 是一个分布，满足对任意 $\exists n\in N^*,\Delta^n g=0$ 的测试函数空间中的函数 $g\in D(B)$ ,成立有 $T(g)=0$ ，则 $T=0$ 。

同样的问题2也能放入分布的框架下：

问题4 $T$ 是一个分布，满足对任意 $\exists n\in N^*,\Delta_f^n g=0$ 的测试函数空间中的函数 $g\in D(B)$ ,成立有 $T(g)=0$ ，则 $T=0$ 。

对于简单的f，问题4是对的。比如f为常数函数和线性函数。

补充说明

以下是新整理的中文说明；上方旧博客原文保持不变。

一个自然问题是：如果函数 $f$ 与所有调和函数都正交，是否推出 $f=0$？答案取决于所在区域、测试函数空间和“调和函数族”是否足够大。

与所有调和函数正交是否推出函数为零，关键取决于调和测试函数族的密度。

1. 基本问题

设 $\Omega$ 是区域，若

$$\int_\Omega f(x)h(x)\,dx=0$$

对所有满足 $\Delta h=0$ 的 $h$ 都成立，是否推出 $f=0$？

在某些简单情形下，答案是肯定的，因为调和多项式或普通多项式在相关函数空间中足够稠密。

2. Weierstrass 逼近

若所有多项式都包含在允许的测试函数族里，或者可以由调和对象生成足够多的多项式，那么由 Weierstrass theorem，连续函数可被多项式一致逼近。此时正交于所有测试函数会推出 $f$ 作为测度为零。

3. 算子推广

把 Laplacian 换成一般算子 $L$ 后，问题变成：$Lh=0$ 的解空间是否足以分离所有 $f$？这与 Runge approximation、unique continuation 和椭圆算子的可解性有关。

4. 分布版本

若 $T$ 是分布，且

$$\langle T,\varphi\rangle=0$$

对所有 $L\varphi=0$ 的测试函数成立，是否推出 $T=0$？这个问题更敏感，因为测试函数必须同时满足 PDE 和支撑/边界条件。

5. 关键点

正交条件本身不神秘，真正的问题是解空间的密度。如果 PDE 的解族在目标空间中稠密，就能推出唯一性；如果解族太小，就会存在非零对象与它全部正交。

2017年9月25日